一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
在一盒骰子中既有正常的均匀骰子, 也有灌铅骰子. 灌铅骰子掷出六点的概率为 0.9 ,掷出其余五个点数的概率相等.
从盒中取一枚骰子检验. 原假设 $H_0$ : 这是一枚均匀骰子. 备择假设 $H_1$ : 这是一枚灌铅骰子. 检验法则为, 连续投郑这枚骰子 $n$ 次, 若连续郑出 $n$ 个六点, 则拒绝 $H_0$, 否则接受 $H_0$. 下列命题中, 正确 的是
$\text{A.}$ 当 $n=2$ 时,犯第一类错误的概率是 0.21 .
$\text{B.}$ 当 $n=2$ 时, 犯第二类错误的概率是 0.21 .
$\text{C.}$ 若 $n$ 越大, 则犯第二类错误的概率就越小.
$\text{D.}$ 当 $n=3$ 时, 此检验法则是一个显著性水平为 0.01 的检验法则.
假设检验中, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下若原假设 $H_0$ 被接受, 这说明
$\text{A.}$ 有充分的理由表明 $H_0$ 是正确的
$\text{B.}$ 没有充分的理由表明 $H_0$ 是错误的
$\text{C.}$ 有充分的理由表明 $H_1$ 是错误的
$\text{D.}$ 没有充分的理由表明 $H_1$ 是正确的
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}$ 为样本均值, $E(X)=\theta$. 检验 $H_0: \theta=0$; $H_1: \theta \neq 0$, 且拒绝域 $W_1=\{|\bar{X}|>1\}$ 和 $W_2=\{|\bar{X}|>2\}$ 分别对应显著性水平 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$, 则
$\text{A.}$ $\alpha_1=\alpha_2$.
$\text{B.}$ $\alpha_1>\alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_1 < \alpha_2$.
$\text{D.}$ $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 的大小关系不确定.
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
在单边假设检验中, 原假设为 $H_0: \mu \leq \mu_0$, 则其备择假设为 $H_1$ :
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其中 $\sigma^2$ 未知, $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 为其样本. 若假设检验问题为 $H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$, 则采用的检验统计量表达现应为
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
某味精厂用一台包装机包装味精，每袋质量 X(单位:g)服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 根据要求, 每袋质量应 为 $100 \mathrm{~g}$. 由于长期实跷表明标准差比较稳定, 且 $\sigma=0.5 \mathrm{~g}$. 现从某天包装的味精中抽取 9 袋, 测得 $\bar{x}=99.62 \mathrm{~g}$ ，问这一天包装机的工作是否正常? $\left(\alpha=0.05, u_{\alpha / 2}=1.96\right)$
1. 在假设检验问题中
（1）若检验结果是接受原假设, 则检验可能犯哪一类错误?
（2）若检验结甲是拒绝原假设，则检验又有可能犯哪一类错误?
2. 某厂生产的汽车电池便用寿命服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其说明书上写明其标准差不超过 0.9 年。现随机抽取 10 个, 得样本均值为 4 年, 样本标准差为 1.2 年。试在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下, 检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.
设 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=(1+\theta) x^\theta, 0 < x < 1$. 现考虑假设检验问题 $H_0: \theta=5 \leftrightarrow H_1: \theta=3$. 该检验的否定域为 $X>1 / 2$, 则犯第一类错误的概率和第二类错误的概率分别为多少?
简. 奥斯汀 (1775 - 1817), 英国女作家, 作品有: 《理智与情感》, 《傲慢与偏见》, 《爱玛》等, 在其身后, 她的哥哥亨利主持了遗作《劝导》和《诺桑觉寺》两部作品出版。下面表格收集了代表作《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》前两章中常用代表词的出现频数,
请问作品《理智与情感》, 《爱玛》以及《劝导》之间在选择常用词比例是否存在差异? $(\alpha=0.05)$
中国科学技术大学 2019 级本科新生入学考试中, 某学院两个班级的英语科目各档成绩(从低到高)人数如下表所示:
我们能否认为这两个班级的英语水平大致相当? 显著性水平设为 $\alpha=0.05$.
附录:
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\begin{aligned}
& \Phi(1.645)=0.95, \Phi(1.96)=0.975 \\
& t_{15}(0.025)=2.131, t_{15}(0.05)=1.753, t_{16}(0.025)=2.12, t_{16}(0.05)=1.746 \\
& \chi_5^2(0.95)=1.145, \chi_5^2(0.05)=11.071, \chi_{15}^2(0.975)=6.262, \chi_{15}^2(0.025)=27.488 .
\end{aligned}
$$