一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列数项级数哪个发散?
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n^2+1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n !}{n^n}$
椭圆抛物面 $z=x^2+\frac{1}{4} y^2+3$ 到平面 $2 x-y+z=0$ 最近的点是?
$\text{A.}$ $(-1,2,5)$
$\text{B.}$ $(1,2,5)$
$\text{C.}$ $(1,-2,5)$
$\text{D.}$ $(-1,2,-5)$
设平面区域 $D$ 是由 $y=x, x=1$ 及 $x$ 轴所围成，二重积分 $\iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} d \sigma$ 转换成平面极坐标系下的二次积分，可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{B.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} 1 d r$
$\text{C.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
$\text{D.}$ $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\frac{1}{\sin\theta}} 1 d r$
函数 $f(x, y)$ 连续，交换二重积分 $\int_0^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$ 次序，该二重积分可表示为?
$\text{A.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^3}^x f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^4}^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^2}^x f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_{x^5}^x f(x, y) d y$
函数 $z=x e^{2 y}$ 在点 $P(1,0)$ 处沿从 $P(1,0)$ 到 $Q(2,-1)$ 的方向导数是?
$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{2}}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
二、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ ?
函数 $z=x y+\ln y$ 在点 $(2,1)$ 处的梯度方向为?
已知平面曲线 $z=4-y^2$ ，其绕 $z$ 轴旋转一周形成旋转曲面，则该旋转曲面与平面 $z=0$ 所围成的空间几何形体的体积为?
曲线积分 $\oint_L\left(x-y^2\right) d s=$ ? 其中 $L$ 是圆周 $x^2+y^2=1$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n-1}{2^n} x^{2 n-2}$ 的收敛域为?
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设函数 $z=u^2 \ln v$ ，而 $u=\frac{1}{y}, v=3 x+2 y$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
计算旋转抛物面 $z=x^2+y^2-1$ 在点 $(2,1,4)$ 处的切平面及法线方程
方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=0 \\ x^2+y^2+z^2=1\end{array}\right.$ 确定两个隐函数 $x=x(z), y=y(z)$ ，计算 $\frac{d x}{d z}, \frac{d y}{d z}$
计算二重积分， $I=\iint_D(x+2 y) d \sigma$ ，其中 $D$ 为 $x^2+y^2=2 x$ 所围成的区域
计算曲面积分， $I=\iint_{\Sigma}(x+y+z) d S$ ，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$
计算第二类曲线积分， $I=\int_L e^x \sin y d x+e^x \cos y d y$ ，其中 $L$ 从 $O(0,0)$ 沿摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 到 $A(\pi a, 2 a)(a>0)$
求函数 $z=f(x, y)=3 x^2+3 y^2-x^3$ 在闭区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 16\right\}$ 上的最大值与最小值.
计算二重积分， $I=\int_{\frac{1}{4}}^{\frac{1}{2}} d y \int_{\frac{1}{2}}^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x+\int_{\frac{1}{2}}^1 d y \int_y^{\sqrt{y}} e^{\frac{y}{x}} d x$
请将函数 $y=x \ln (1+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数