一、单选题 （共 4 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知 $F(x)$ 为 $f(x)$ 的一个原函数, 则 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{2} F(2 x)+C$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)+\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} x F^{\prime}(2 x)-\frac{1}{4} F(2 x)+C$.
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int f(2 x+3) d x=$
$\text{A.}$ $F(2 x+3)$
$\text{B.}$ $2 F(2 x+3)+\mathrm{C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)+C$
若 $f(x)$ 的导函数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 有一个原函数为
$\text{A.}$ $1+\sin x$.
$\text{B.}$ $1-\sin x$.
$\text{C.}$ $1+\cos x$.
$\text{D.}$ $1-\cos x$.
设 $F(x)=\int_x^{x+2 \pi} \mathrm{e}^{\sin t} \sin t \mathrm{~d} t$, 则 $F(x)$
$\text{A.}$ 为正常数.
$\text{B.}$ 为负常数.
$\text{C.}$ 恒为零.
$\text{D.}$ 不为常数.
二、填空题 （共 4 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_{-1}^1\left(\sqrt{1-x^2}+\sin ^3 x\right) \mathrm{d} x=$
设 $\int f(x) d x=\sin 2 x+c$, 则 $f(x)=$
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算 $\int \frac{1}{\sqrt{\left(1-x^2\right)^3}} \mathrm{~d} x$.
设 $\int_0^2 f(x) d x=1, f(2)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(2)=0$, 求 $\int_0^1 x^2 f^{\prime \prime}(2 x) d x$
设 $f(x)$ 的一个原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 求 $\int x f^{\prime}(2 x) \mathrm{d} x$.