一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机事件 $A, B, C$ 两两独立, 且 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(C)=\frac{1}{3}, P(A B \mid C)=\frac{1}{3}$, 则在 $A$ 不发生的条件下 $B$ 与 $C$ 都发生的概率是
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{9}$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n(n>1)$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 其中 $\mu$ 末知, $\bar{X}$ 是 样本均值, 则以下四个选项中期望是 $\sigma^2$ 的统计量的是
$\text{A.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$
$\text{B.}$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2(n-1)} \sum_{i=1}^{n-1}\left(X_{i+1}-X_i\right)^2$
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
对一正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu, \sigma^2$ 均末知, 共测量 16 次, 得到样本均值为 $\bar{x}=10.6$ 和标 准差为 $s=1.2$ 。设以下显著性水平均为 $0.05$, 检验假设 $H_0: \mu=10 ; H_1: \mu \neq 10$, 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由: ；检验假设 $H_0: \sigma^2 \geq 1 ; H_1: \sigma^2 < 1$ ， 是否拒绝 $H_0$ ? 说明理由:
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
三、解答题 （ 共 5 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
一盒中有 6 个红球 5 个白球, 每次同时从中取 2 球, 不放回取 2 次。 $X, Y$ 分别 为第 1,2 次取到的红球数, 求 (1) $X$ 的分布律; (2) $X$ 的分布函数; (3) $P(Y=1)$
设随机变量$X$的概率密度
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{c}
x, 0 \leq x \leq 1 \\
c-x, 1 < x \leq 2, \quad \text { 记 } Y=2 X-1 ， 0 \text {, 他他 } \\
0, \text { 其 }
\end{array}\right.
$$
记$Y=2X-1$ 求
(1) 常数 $c$;
(2) $P\left(X < \frac{7}{6}\right)$;
(3) $Y$ 的密度函数 $f_Y(y)$
设 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}y, & 0 < x < 2,0 < y < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$, 问:
（1） $X, Y$ 独立吗？说明理由;
(2) $E\left(X^2 Y\right)$;
(3) $P(X>Y)$
已知总体 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}3 \theta^{-3} x^2, 0 < x \leq \theta \\ 0, \text { 其他 }\end{array}, \theta>0\right.$ 为末知常数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的一个样本, $\bar{X}$ 是样本均值。（1）求 $\theta$ 的一阶矩估计 $\hat{\theta}$;
(2) 求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}_L ;$ (3) 判断上面所得的矩估计 $\hat{\theta}$ 的无偏性, 说明理由;
(4) 设 $Y=\max \left(X_1, \ldots, X_n\right)$, 求 $E(Y)$
如果对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 随机变量 $X$ 满足 $P\{X \geqslant x\}=P\{X \leqslant-x\}$, 就 称 $X$ 为对称的. (1) 如果连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 证明 $Y-X$ 是对称的; (2) 如 果随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y,|x| < 1,|y| < 1, \\ 0, \\ \text { 其他, }\end{array}\right.$ 问 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立? $X$ 和 $Y$ 是否同分布? 又问 $Y-X$ 是否是对称的? 给出你的理由.