一、单选题 （共 6 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $\mathrm{A}$ 为 2 阶可逆矩阵, 且 $(2 A)^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$, 则 $\mathrm{A}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{B.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
设点 $p_i\left(x_i, y_i\right)(i=1,2,3)$ 为 $x O y$ 平面上的三个不同的点, $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{array}\right)$. 则三点 $p_1, p_2, p_3$ 在同一直线上的充分必要条件是
$\text{A.}$ $|\boldsymbol{A}|=0$.
$\text{B.}$ $|\boldsymbol{A}| \neq 0$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})=1$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})=2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n \times s$ 矩阵, 则齐次线性方程组 $\boldsymbol{B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A B} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 同解的充分条件是
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})=m$.
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})=n$.
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{B})=n$.
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{B})=s$.
设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t ; \boldsymbol{\gamma}$, 如果
$$
r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right) < r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right), r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t, \boldsymbol{\gamma}\right)
$$
则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 不能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性表示, 但能被 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示
$\text{B.}$ $r\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}\right)=r\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)$
$\text{C.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性无关, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性无关
$\text{D.}$ 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 能被向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 线性表示, 则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$ 能被 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s, \boldsymbol{\gamma}$ 线性表示
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\mathrm{A}$ 为 3 阶矩阵, 且 $|-2 A|=2$, 则 $|A|=$
设向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则当常数 $k$ 满足 （ ） 时, 向量组 $k \alpha_2-\alpha_1$, $\alpha_3-\alpha_2, \alpha_1-\alpha_3$ 线性无关.
设 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(0,-3,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 有基础解系 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,3$, $0,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(1,2,-1, a)^{\mathrm{T}}$, 若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{B x}=\mathbf{0}$ 没有非零公共解, 则参数 $a$ 满足的条件是
三、解答题 （ 共 9 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}-x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1-x_2+x_3=2 \\ 5 x_1-5 x_2-4 x_3=1\end{array}\right.$ 的通解
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正定阵, $\boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵,证明 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ 的行列式大于 1 .
设 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵, $B$ 是 $m \times n$ 矩阵, 其中 $n < m, E$ 是 $n$ 阶单位矩阵, 若 $A B=E$, 证明 $B$ 的列向量组线性无关.
证明: 若 $A$ 为 $m \times n$ 矩阵， $B$ 为 $n \times p$ 矩阵，则有
$r(A B) \geq r(A)+r(B)-n$. 特别地，当 $A B=O$ 时，有
$r(A)+r(B) \leq n$.