单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n, \cdots$ 为独立同分布随机变量序列, 且均服从参数为 $\lambda(\lambda>1)$ 的指数分布, 记 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\lambda \sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n \lambda}{\sqrt{\lambda n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\lambda \sum_{i=1}^n X_i-n}{\sqrt{n}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} P\left\{\frac{\sum_{i=1}^n X_i-\lambda}{\sqrt{n \lambda}} \leqslant x\right\}=\Phi(x)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其中 $P\{X=0\}=P\{X=1\}=\frac{1}{2}$. $\Phi(x)$ 表示标准正态分布函数, 则利用中心极限定理可得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leqslant 55\right\}$ 的近似值为
$\text{A.}$ $1-\Phi(1)$
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $1-\Phi(0.2)$
$\text{D.}$ $\Phi(0.2)$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05 . 现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验, 以 $X$ 表示 “不能承受试验而烧毁的元件数” , 则根据中心极限定理, $P\{5 \leqslant X \leqslant 10\} $ $(\Phi(2.29)=0.989)$
将一枚骰子重复掷 $n$ 次, 则当 $n \rightarrow \infty$ 时, $n$ 次掷出点数的算术平均值 $\bar{X}_n$ 依概率收敛于
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
假设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 已知 $E\left(X^k\right)=\alpha_k(k=1,2,3,4)$.证明: 当 $n$ 充分大时, 随机变量 $Z_n=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i^2$ 近似服从正态分布, 并指出其分布参数.