已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \bar{z}=2$, 且 $z$ 的虚部为 $-1, z$ 在复平面内所对应的点在第四象限.
(1) 求 $z$;
(2) 若 $z, z^2$ 在复平面上对应的点分别为 $A, B, O$ 为坐标原点, $\angle O A B$.

$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 且 $b=$ $2 c \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.
(1) 求 $C$;
(2) 若 $c=1, D$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆上的点, $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}^2$, 求四边形 $A B C D$ 面积的最大值.