单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 为 $n$ 阶矩阵 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2$ 分别是 $A$ 的属于特征值 $\lambda_1, \lambda_2$ 的特征向量,则
$\text{A.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{B.}$ 当 $\lambda_1=\lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
$\text{C.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时, $\xi_1, \xi_2$ 必成比例
$\text{D.}$ 当 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 时， $\xi_1, \xi_2$ 必不成比例
设 $\mathrm{a}=2$ 是可逆矩阵 $\mathrm{A}$ 的一个特征值, 则 $A^{-1}$ 有一个特征值等于
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{1}{2}$;
零为方阵 $\mathrm{A}$ 的特征值是 $\mathrm{A}$ 不可逆的
$\text{A.}$ 充分条件;
$\text{B.}$ 充要条件;
$\text{C.}$ 必要条件;
$\text{D.}$ 无关条件;
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知四阶方阵 $A$ 的特征值为 $0,1,1,2$, 则 $|A-\lambda E|=$
设 0 是矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & a\end{array}\right)$ 的特征值, 则 $a=$
已知三阶方阵 $A$ 的特征值为 $1,-1,2$, 则 $B=3 A^2-2 A$ 的特征值为 ________ ;
$=$ $\qquad$ ; $A$ 的对角元之和为
$A$ 是 $n$ 阶方阵, $|A|=d$, 则 $A A^*$ 的特征值是
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求下列矩阵的特征值和特征向量
1. $A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 2 & 1\end{array}\right)$
$$
\text { 2. } B=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 1 & 2
\end{array}\right)
$$
设 $\alpha$ 为 $n$ 维列向量, 证明: $\alpha$ 是矩阵 $\alpha \alpha^T$ 的特征向量, 并求 $\alpha$ 对应的特征值.
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵,
1. 当 $A^2=E$ 时, 求 $A$ 的特征值;
2.当 $A^m=O$ 时, 求 $A$ 的特征值, 其中 $m$ 为正整数.