填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
与向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{2},-1)$ 平行的单位向量是
设向量 $\vec{a}=(3,-1,-2), \vec{b}=(1,2,-1)$, 则 $2 \vec{a} \times 3 \vec{b}=$
$\lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty, 2)}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{2 x^2}{x+y}}=$
设 $z=\left(e^{x y}+x\right)^x,\left.\mathrm{~d} z\right|_{(1,0)}=$
已知 $f(x, y)=x+(y-1) \sin \sqrt{\frac{x}{y}}$, 则 $f_x(x, 1)=$
若常数 $a>0$, 则二重积分 $\iint_{x^2+y^2 \leq a^2} \sqrt{a^2-x^2-y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\triangle A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A(3,0,2), B(5,3,1), C(0,-1,3)$, 求该三角形的面积.
设 $z=f\left(x^2-y^2, e^{x y}\right), f$ 具有二阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$.
设函数 $u=y f\left(\frac{x}{y}\right)+x g\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f, g$ 具有二阶连续偏导数,
求证: $x \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+y \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}=0$.
已知函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^{x z}-2 z$ 确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
求过点 $(2,-1,3)$ 且与直线 $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+14}{-1}$ 垂直相交的直线方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leq x^2+y^2 \leq 3, x \geq 0\right\}$, 计算二重积分 $I=\iint_D \ln \left(1+x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma$.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.