高考新模式19题专项训练

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高考新模式19题专项训练

一、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 已知

A_{m} = (\begin{array}{cccc} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \dots & a_{1, m} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \dots & a_{2, m} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \dots & a_{m, m} \end{array}) (m ⩾ 2)

是

m^{2}

个正整数组成的

m

行

m

列的数表, 当

1 ⩽ i < s ⩽ m, 1 ⩽ j < t ⩽ m

时, 记

d (a_{i, j}, a_{s, t}) = | a_{i, j} - a_{s, j} | + | a_{s, j} - a_{s, t} |

. 设

n

\in N^{*}

, 若

A_{m}

满足如下两个性质:
①

a_{i, j} \in {1, 2, 3; \dots, n} (i = 1, 2, \dots, m; j = 1, 2, \dots, m)

;
②对任意

k \in {1, 2, 3, \dots, n}

, 存在

i \in {1, 2, \dots, m}, j \in {1, 2, \dots, m}

, 使得

a_{i, j} = k

, 则称

A_{m}

为

Γ_{n}

数表.
(1) 判断

A_{3} = (\begin{array}{lll} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 2 \end{array})

是否为

Γ_{3}

数表, 并求

d (a_{1, 1}, a_{2, 2}) + d (a_{2, 2}, a_{3, 3})

的值;
(2) 若

Γ_{2}

数表

A_{4}

满足

d (a_{i, j}, a_{i + 1, j + 1}) = 1 (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3)

, 求

A_{4}

中各数之和的最小值;
(3) 证明: 对任意

Γ_{4}

数表

A_{10}

, 存在

1 ⩽ i < s ⩽ 10, 1 ⩽ j < t ⩽ 10

, 使得

d (a_{i, j}, a_{s, t}) = 0

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2. 同余定理是数论中的重要内容. 同余的定义为: 设

a, b \in Z, m \in N^{*}

且

m > 1

. 若

m ∣ a - b

则称

a

与

b

关于模

m

同余, 记作

a \equiv b (mod m)

(“|”为整除符号).
(1) 解同余方程

x^{2} - x \equiv 0 (mod 3)

;
(2) 设 (1) 中方程的所有正根构成数列

{a_{n}}

, 其中

a_{1} < a_{2} < a_{3} < \dots < a_{n}

.
①若

b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})

, 数列

{b_{n}}

的前

n

项和为

S_{n}

, 求

S_{2 n 24}

:
② 若

c_{n} = \tan a_{2 n + 1} \cdot \tan a_{2 n - 1} (n \in N^{*})

, 求数列

{c_{n}}

的前

n

项和

T_{n}

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