单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
如果 $f(x)$ 在 $x$ 处可微, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y-\mathrm{d} y}{\Delta x}$ 的值为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
已知 $f(x)=(x-1)(2 x+1)$, 则在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内 $f(x)$.
$\text{A.}$ 单调增加, 且为凹弧
$\text{B.}$ 单调减少, 且为凹弧
$\text{C.}$ 单调减少, 且为凸弧
$\text{D.}$ 单调增加, 且为凸弧
已知函数 $f(x)$ 可微, 则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $\int \mathrm{d} f(x) \quad$
$\text{B.}$ $\mathrm{d}\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)$
$\text{C.}$ $\left(\int f(x) \mathrm{d} x\right)^{\prime}$
$\text{D.}$ $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x$
已知 $\int_0^1\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) \mathrm{e}^x \mathrm{~d} x=1, f(1)=0$, 则 $f(0)=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不确定
$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^2 \mathrm{e}^{2 x}$ 的一个特解可设为 ( ), 其中 $A, B, C$ 为常数.
$\text{A.}$ $(A x+B) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{B.}$ $(A x+B) x \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{C.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) \mathrm{e}^{2 x}$
$\text{D.}$ $\left(A x^2+B x+C\right) x^2 \mathrm{e}^{2 x}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$, 则常数 $a=$ , $b=$
设 $y=\mathrm{e}^{\sqrt{\cos x}}$, 则 $\mathrm{d} y=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{1+\frac{i}{n}}=$
设 $f(x)$ 可表示为 $f(x)=2 x+2 \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x$, 则 $f(x)=$
微分方程 $x \mathrm{~d} y+2 y \mathrm{~d} x=0$, 满足 $y_{\mid x=2}=1$ 的特解是 ________ .
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
$ \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \dfrac{\int_0^{\sqrt{x}}\left(1-\cos t^2\right) d t}{x^{\frac{5}{2}}}$
$ \int \frac{x}{1+\cos 2 x} d x$
$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1-\sin 2 x} d x$
$\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^2+4 x+13} \mathrm{~d} x$
$\int_0^5 \frac{\mathrm{d} x}{x+\sqrt{25-x^2}}$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(x) \cos x+2 \int_0^x f(t) \sin t \mathrm{~d} t=x+1$, 求 $f(x)$.
求由曲线 $ y=2 x, x y=2, y=\frac{x^2}{4} $ 所围成平面图形的面积.
设 $f(x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的正值连续函数, 试证: 存在唯一的 $\xi \in(a, b)$, 使得:
$$
\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=\int_{\xi}^b f(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x
$$