单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 等于
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_y^{1-\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) d \theta$
$\text{D.}$ $\int_0^{\sqrt{2}} d \rho \int_0^{\frac{\pi}{4}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta+\int_{\sqrt{2}}^2 d \rho \int_0^{\arccos \frac{\rho}{2}} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \theta$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\int_0^\pi d \theta \int_0^{\frac{1}{\cos \theta}} \rho^2 d \rho+\int_1^{\sqrt{2}} d x \int_0^{\sqrt{2-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} d y=$
$\int_0^1 d y \int_y^1 x \sqrt{2 x y-y^2} d x=$
$ \lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{\sqrt[n]{2}-1}{\sqrt[n]{2 n+1}}\left[\int_1^{\frac{1}{2 n}} e^{-y^2} d y+\int_1^{\frac{3}{2 n}} e^{-y^2} d y+\cdots+\int_1^{\frac{2n-1}{2 n}} e^{-y^2} d y\right]= $
设 $D$ 是由 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1$ 所确定的平面区域, 则
$$
\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d x d y=
$$
计算积分 $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3 \pi}{4}} d \theta \int_0^{2 \sin \theta}\left[\sin \theta+\cos \theta \sqrt{1+r^2 \sin ^2 \theta}\right] r^2 d r $
设函数 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f^{\prime}(x)=f(1-x), f(0)=1$ 则 $f(x)=$
设 $f(x)$ 是可导函数, 且 $f(0)=0, g(x)=\int_0^1 x f(t x) d t$, 并满足方程 $f^{\prime}(x)+g^{\prime}(x)=x$, 则由曲线 $y=f(x), y=e^{-x}$ 及直线 $x=0, x=2$围成平面图形的面积为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $ {u=f(x, y, z)}, z=z(x, y)$ 是由方程 ${\varphi(x+y, z)=1}$所确定的隐函数, 求 $\frac{\partial u}{\partial x}, d u, \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$. 其中 $f$ 和 $\varphi$ 有二阶连续偏导数且 $\varphi_2 \neq 0$.
设函数 $z=z(x, y)$ 的微分 $d z=(2 x+12 y) d x+(12 x+4 y) d y$ 且 $z(0,0)=0$, 求函数 $z=z(x, y)$ 在 $4 x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大值