解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=(1+x y)^2 \ln (1+x y)$, 求 $z_x^{\prime}$ 。
解方程 $y^{\prime}-\frac{2}{x} y=2 x^2$
求椭球面 $x^2+y^2+\frac{z^2}{2}=1$ 上一点, 使得在这点的椭球面切平面与 $x-y+2 x=4$ 平行。
求函数 $u=x^3+2 y^2-3 x-12 y$ 的极值。
计算计算 $\int_L(x+y) d s$, 其中曲线 $L: x^2+y^2=2 x$ 。
计算 $\iiint_{\Omega} z^2 d x d y d z$, 其中 $\Omega$ 由 $z=3-x^2-y^2$ 和 $z=0$ 所围。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln ^2 n}{2^n}(x-2)^{2 n}$ 的收敛半径与收敛区间。
求球面 $x^2+y^2+z^2=4$ 被平面 $x+y+z=0$ 所截的上半部分在 $x o y$ 面上的投影区域的面积。
设 $y=x \ln x$ 是方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=0$ 的一个解,
(1) 求 $p(x)$ 的表达式;
(2) 求解方程 $x^2 y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+y=x \ln x$ 。
设 $x=e^{u+v}, y=e^{u-v}$, 试将方程 $x^2 z_{x x}^{\prime \prime}+y^2 z_{y y}^{\prime \prime}+x z_x^{\prime}+y z_y^{\prime}=0$ 从化为关于自变量 $u, v$ 的方程 (假设 $z=z(x, y)$ 有连续的二阶偏导数)。
计算 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+2 y z\right) d y d z+\left(y^2+2 z x\right) d z d x+\left(z^2+2 x y\right) d x d y$, 其中 $\Sigma$ 为曲面 $z=\sqrt{1-x^2-y^2}$ 的上侧。
计算 $\int_L\left(e^x \cos y+y^2\right) d x+\left(2 x y-e^x \sin y\right) d y$, 其中有向曲线 $L$ 是 $y=x^2$ 从 $O(0,0)$ 到 $A(1,1)$ 的一段。
求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n^2-1} x^n$ 的和函数。
证明 $\frac{3}{2} \pi < \iiint_{\Omega} \sqrt{x+2 y-2 z+5} d x d y d z < 3 \pi$,其中 $\Omega: x^2+y^2+z^2 \leq 1$ 。