单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 复数 $z=1-i$ ，则 $\arg z=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{\pi}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{3 \pi}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{5 \pi}{4}$
设 $z$ 为非零复数，$a, b$ 为实数且 $\frac{z}{z}=a+b i$ ，则 $a^2+b^2$
$\text{A.}$ 等于 0
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 小于 1
$\text{D.}$ 大于 1
函数 $f(z)=\bar{z}$ 在 $z=0$ 处
$\text{A.}$ 解析
$\text{B.}$ 可导
$\text{C.}$ 不连续
$\text{D.}$ 连续
设 $z=x+i y$ ，则下列函数为解析的是
$\text{A.}$ $f(z)=x^2-y^2+i 2 x y$
$\text{B.}$ $f(z)=x-i y$
$\text{C.}$ $f(z)=x+i 2 y$
$\text{D.}$ $f(z)=2 x+i y$
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=1$ ，则积分 $\oint_C \bar{z} d z=$
$\text{A.}$ $6 \pi i$
$\text{B.}$ $4 \pi i$
$\text{C.}$ $2 \pi i$
$\text{D.}$ 0
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=1$ ，则积分 $\oint_C \frac{d z}{z(z-2)}=$
$\text{A.}$ $-\pi i$
$\text{B.}$ $\pi i$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $2 \pi i$
设 $C_1, C_2$ 分别是正向圆周 $|z|=1$ 与 $|z-2|=1$ ，则积分 $\frac{1}{2 \pi i}\left(\oint_{C_1} \frac{e^z}{z-2} d z+\oint_{C_2} \frac{\sin z}{z-2} d z\right)=$
$\text{A.}$ $2 \pi i$
$\text{B.}$ $\sin 2$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\cos 2$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(1+i)^n} z^n$ 的收敛半径为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{2}$
$\text{D.}$ 2
$z=0$ 是函数 $f(z)=\frac{\left(e^z-1\right) \sin z}{z^2(z-1)}$ 的
$\text{A.}$ 本性奇点
$\text{B.}$ 可去奇点
$\text{C.}$ 一级极点
$\text{D.}$ 二级极点
已知 $\sin z=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n+1)!} z^{2 n+1}$ ，则 $\operatorname{Re} s\left[\frac{\sin z}{z^4}, 0\right]=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{1}{3!}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{3!}$
$\text{D.}$ -1
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若在区域 $x>0$ 内 $f(z)=a \ln \left(x^2+y^2\right)+i \arctan \frac{y}{x}$ 为解析函数，则 $a=$
积分 $\int_1^2 2 z \sin \left(z^2\right) d z=$
若幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2 i$ 收敛，在 $z=-2$ 发散，则该幂级数的收敛半径 $\mathrm{R}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)=\left(y^3-3 x^2 y\right)+i v(x, y)$ 是解析函数，求 $v(x, y)$
设 $C$ 为正向圆周 $|z-2|=1$ ，求积分 $\oint_C \frac{1}{z(z-2)^2} d z$
将 $f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}$ 在圆坏域 $1 < |z| < 2$ 内展开为洛朗级数。
利用留数定理计算 $\oint_c \frac{1}{\cos z} d z$ ，其中 $C$ 为正向圆周 $|z|=2$
函数 $f(z)=\frac{1}{\left(z^2-1\right)(z-i)}$ 在以 $z=1$ 为中心的哪几个圆环域内可展开为洛朗级数？
（1）求 $f(z)=\frac{1}{1+z^2}$ 在上半平面内的孤立奇点及其类型；
（2）设 $a>0$ ，求 $f(z) e^{i a z}$ 在以上孤立奇点处的留数；
（3）利用以上结果计算实积分 $I=\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\cos a x}{1+x^2} d x$
设 $z=\left(\frac{-1+5 i}{2+3 i}\right)^2$ ，求模 $|z|$ 及辐角主值 $\arg z$ ．