单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
某老师为了奖励考试成绩优异的同学，在微信群里发了一个拼手气红包。已知甲、乙、丙三人抢到的红包金额超过 1 元的概率分别为 $\frac{2}{3}, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ ，则这三人中至少有两人抢到的红包超过 1 元的概率为
$\text{A.}$ $\frac{11}{24}$
$\text{B.}$ $\frac{3}{8}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为＂三局两胜＂制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各局比赛结果相互独立，则甲获得冠军的概率为
$\text{A.}$ $\frac{4}{9}$
$\text{B.}$ $\frac{8}{27}$
$\text{C.}$ $\frac{16}{27}$
$\text{D.}$ $\frac{20}{27}$
甲箱中有 2 个白球和 1 个黑球，乙箱中有 1 个白球和 2 个黑球。现从甲箱中随机取两个球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两个球。假设事件 $A=$＂从乙箱中取出的两球都是白球＂，$B=$＂从乙箱中取出的两球都是黑球＂，$C=$＂从乙箱中取出的两球一个是白球一个是黑球＂，其对应的概率分别为 $P(A), P(B), P(C)$ ，则
$\text{A.}$ $P(A)=P(B)$
$\text{B.}$ $P(A)=P(C)$
$\text{C.}$ $P(B) < P(C)$
$\text{D.}$ $P(C) < P(A)$
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 $p_1, p_2, p_3$ ，且 $p_3>p_2>p_1>0$ 。记该棋手连胜两盘的概率为 $p$ ，则
$\text{A.}$ $p$ 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
$\text{B.}$ 该棋手在第二盘与甲比赛，$p$ 最大
$\text{C.}$ 该棋手在第二盘与乙比赛，$p$ 最大
$\text{D.}$ 该棋手在第二盘与丙比赛，$p$ 最大
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去．若比赛中有人累计获胜 3 局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者．根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为 $\frac{1}{2}$ ，乙、丙比赛乙胜概率为 $\frac{1}{3}$ ，丙、甲比赛丙胜概率为 $\frac{2}{3}$ ，每局比赛相互独立且每局比赛没有平局．
（1）比赛完 3 局时，求甲、乙、丙各旁观 1 局的概率；
（2）已知比赛进行 5 局后结束，求甲获得最终胜利的概率．
杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhou 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办。本届亚运会共设 40 个竞赛大项，包括 31 个奥运项目和 9 个非奥运项目。同时，在保持 40 个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目。与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制＂双败赛制＂赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军。双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制。假设四支队伍分别为 $A, B, C, D$ ，其中 A 对阵其他三个队伍获胜概率均为 $p$ ，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为 $\frac{1}{2}$ ．最初分组时 $A B$ 同组，$C D$ 同组．
（1）若 $p=\frac{2}{3}$ ，在淘汰赛赛制下，$A, C$ 获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下 A 获得冠军的概率（用 $p$ 表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的＂对强者不公平＂？
甲、乙、丙三个学校进行篮球比赛，各出一个代表队，简称甲队、乙队、丙队．约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两个队，另一队轮空；每场比赛的胜队与轮空队进行下一场比赛，负队下一场轮空，直至有一队被淘汰；当一队被淘汰后，剩余的两队继续比赛，直至其中一队被淘汰，另一队最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙两队首先比赛，丙队轮空．设甲队与乙队每场比赛，甲队获胜概率为 0.5 ，甲队与丙队每场比赛，甲队获胜概率为 0.6 ，乙队与丙队每场比赛，乙队获胜概率为 0.4 ．记事件 $A$ 为甲队输，事件 $B$ 为乙队输，事件 $C$ 为丙队输，
（1）写出用 $A, B, C$ 表示＂乙队连胜四场＂的事件，并求其概率；
（2）写出用 $A, B, C$ 表示＂比赛四场结束＂的事件，并求其概率；
（3）求＂需要进行第五场比赛＂的概率．
某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在 120 分钟内未分出胜负，则需进行点球大战。点球大战规则如下：第一阶段，双方各派 5 名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得 1 分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球。若 5 名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜．设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，乙队每位球员罚进点球的概率均为 $\frac{2}{3}$ ．假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响。
（1）求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率；
（2）若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以 $2: 0$ 领先，求甲队第 5 个球员需出场罚球的概率．