单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时都是无穷大，则 $f(x)+g(x)$ 无界．
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一定有界．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在， $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)$ 一定不存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷大．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列哪一个无穷小是对于 $x$ 的三阶无穷小？
$\text{A.}$ $x^3+0.0001 x^2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2+x^3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt[3]{\tan x}$
$\text{D.}$ $\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}$
下列反常积分收敛的是
$\text{A.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\text{B.}$ $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{x-1} d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} d x$
如果 $f\left(e^x\right)=\frac{1}{x+1}$ ，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x)=-\frac{e^x}{(1+x)^2}$
$\text{B.}$ $f^{\prime}\left(e^x\right)=-\frac{1}{\left(1+e^x\right)^2}$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x(1+\ln x)^2}$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(e^x\right)=-\frac{e^x}{(1+x)^2}$
函数 $f(x)=\frac{(x-1) \sin x}{|x|\left(x^2-1\right)}$ 的第二类间断点的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 的第一类间断点是
若函数 $y=\frac{x^n}{x-1}$ ，则 $y^{(n)}=$
设函数 $y=f(x)$ 是由方程 $y e^x+\cos y-1=0$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=0$处的切线方程是
椭圆 $x=2 \cos t, y=4 \sin t$ 所围成的平面图形的面积是
曲线 $y=\int_0^x \tan t d t$ 相应于 $0 \leq x \leq \frac{\pi}{4}$ 的一段弧的弧长是
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3 \\ e^y \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ ，计算 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$
计算不定积分 $\int \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right) d x$
设 $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，且 $f(0)=1, f(2)=3, f^{\prime}(2)=5$ ，求 $\int_0^2 x f^{\prime \prime}(x) d x$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-4 x^2\right)}{x}, & x>0 \\ a x+b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ 的值．
求函数 $f(x)=\frac{4(x+1)}{x^2}-2$ 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点．
设函数 $f(x)=\int_{-x}^{\sin x} \arctan \left(1+t^2\right) d t$ ，求 $f^{\prime}(0)$
求由圆 $(x-3)^2+y^2 \leq 1$ 绕 $y$ 轴旋转一周而得的旋转体的体积。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=-1$ ，
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根．
（2）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．