单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 ${f}({x})$ 在点 $x_0$ 处可导，且 ${f}^{\prime}({x_0} )=2$ ，则当 $x$ 趋于 $x_0$ 时， ${f}({x})$ 的增量 $\Delta f(x)$ 与 $x$ 的增量 $\Delta x$ 的比值的极限为 ()
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $x_0$
$\text{D.}$ $\frac{1}{x_0}$
极限 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{sinx}{x}$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 不存在
函数 $f(x)=x^3-3 x+2$ 在区间 $[-2,2]$ 上的最大值是
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 10
若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且在区间 $I$ 的每一点都可导，则称 $f(x)$ 在区间$ I$ 上
$\text{A.}$ 可导
$\text{B.}$ 连续
$\text{C.}$ 一致连续
$\text{D.}$ 光滑
曲线 $y=x^2-4 x+5$ 的拐点是（ ）
$\text{A.}$ $(2,1)$
$\text{B.}$ $(1,2)$
$\text{C.}$ $(0,5)$
$\text{D.}$ $(3,2)$
函数 ${f}({x})={e}^{x}$ 在 ${x}=0$ 处的泰勒展开式的前三项是
$\text{A.}$ $1+{x}+{x}^2$
$\text{B.}$ $1+{x}+{x}^2 / 2$
$\text{C.}$ $1-{x}+{x}^2$
$\text{D.}$ $1+{x}-{x}^2$
若函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增，且可导，则必有（ ）
$\text{A.}$ ${f}{\prime}({x})>0$
$\text{B.}$ ${f}{\prime}({x}) < 0$
$\text{C.}$ ${f}{\prime}({x})=0$
$\text{D.}$ ${f}{\prime}({x})$ 不存在
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $f^{\prime}(x_0)=0$ ，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的（ ）
$\text{A.}$ 极大值点
$\text{B.}$ 极小值点
$\text{C.}$ 拐点
$\text{D.}$ 驻点
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若函数$f(x)$在点$x_0$处可导，且$f'(x_0) = 3$，则当$x$趋于$x_0$时，$f(x)$的线性近似为
极限$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{ x^3 - 1} $等于
曲线$y = x^3 - 3x^2 + 2x$的拐点是
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 ${f}({x})={x}^3-3 {x}^2+2 {x}$ 在 ${x}=1$ 处的泰勒展开式。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-x}{x^2 \sin x}$
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+3}{x+4}\right)^x$
设 $y=x \arcsin x+\sqrt{1-x^2}$ ，求 $d y$
求由方程 $x e^y=\sin (x+y)$确定的隐函数 $ y=y(x)$的导数$\frac{d y}{d x}$
设方程 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t) \\ y=a(1-\cos t)\end{array}\right.$ 确定了 ${y=y(x)}$ ，求 $\frac{d y}{d x}$ ；$\frac{d^2 y}{d x^2}$
$\int \frac{x-1}{3+x^2} d x$
解
求由曲线 $y^2=2 x$ 和直线 $y=x-4$ 所围平面图形的面积
求由曲线 $y=x^2$ 和直线 $y=2-x^2$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积。
求解一阶微分方程 $y\left(1+x^2\right) d y=x\left(1+y^2\right) d x$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=2$ 特解。
对二阶微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=2 x-1$ ，求：（1）所给方程对应的齐次方程的通解；（2）非齐次方程的特解；（3）非齐次方程的通解。
设 $f(x)$ 是定义在 ${x \geq 1}$ 上的正值连续函数，求 $F(x)=\int_1^x\left[\frac{2}{x}+\ln x-\left(\frac{2}{t}+\ln t\right)\right] f(t) d t$ 的最小值。