判断矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 可逆，并求其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrrr}a & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a & b & 0 & 0 & 1 \\ -a & -b & c & 0 & 1 \\ -a & -b & -c & d & 1 \\ -a & -b & -c & -d & 1\end{array}\right|$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}\right), \boldsymbol{B}=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，且已知行列式 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}=1, \operatorname{det} \boldsymbol{B}=-2$ ，计算 $\operatorname{det}(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．
确定 $a$ 的值使线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1-x_2+x_3+x_4=1 \\ x_1+2 x_2-x_3+4 x_4=2 \\ x_1+7 x_2-4 x_3+11 x_4=a\end{array}\right.$ 有解，并求其解．
设 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 10 & 10 \\ 5 & 6 & 11 & 14\end{array}\right)$ ，问
（1）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 可否由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示？若可以，写出线性表示式；
（2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 与向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是否等价？
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right),(1)$ 求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量；（2）计算 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^{n+1}-5 \boldsymbol{A}^*$ 。