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高中数学第一轮复习 椭圆的性质与标准方程

发布日期 2025/9/13 21:59:26      查看 5      加入组卷      查看作者     
单选题
已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1, F_1, F_2$ 为两个焦点，$O$ 为原点，$P$ 为椭圆上一点， $\cos \angle F_1 P F_2=\frac{3}{5}$ ，则 $|P O|=($ ）
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{30}}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{3}{5}$ $\text{D.}$ $\frac{\sqrt{35}}{2}$
椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左顶点为 $A$ ，点 $P, Q$ 均在 $C$ 上，且关于 $y$ 轴对称．若直线 $A P, A Q$ 的斜率之积为 $\frac{1}{4}$ ，则 $C$ 的离心率为

$\text{A.}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\text{B.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$ $\text{C.}$ $\frac{1}{2}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{5}+y^2=1$ 的上顶点，点 $P$ 在 $C$ 上，则 $|P B|$ 的最大值为
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}$ $\text{B.}$ $\sqrt{6}$ $\text{C.}$ $\sqrt{5}$ $\text{D.}$ 2
设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）

$\text{A.}$ $\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$ $\text{B.}$ $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$ $\text{C.}$ $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ $\text{D.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 上的点，若 $F_1, F_2$ 是椭圆的两个焦点，则 $\left|P F_1\right|+\left|P F_2\right|$ 等于（ ）
$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 8 $\text{D.}$ 10
过点（ $-3,2$ ）且与 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ 有相同焦点的椭圆方程是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1$ $\text{B.}$ $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{15}=1$ $\text{C.}$ $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ $\text{D.}$ $\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$
填空题
已知直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ 在第一象限交于 $A, B$ 两点，$l$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $M, N$ 两点，且 $|M A|=|N B|,|M N|=2 \sqrt{3}$ ，则 $l$ 的方程为
椭圆是特别重要的一类圆锥曲线，是平面解析几何的核心，它集中地体现了解析几何的基本思想而黄金椭圆是一条优美曲线，生活中许多椭圆形的物品，都是黄金椭圆，它完美绝伦，深受人们的喜爱．黄金椭圆具有以下性质：（1）以长轴与短轴的四个顶点构成的菱形内切圆经过两个焦点，（2）长轴长，短轴长，焦距依次组成等比数列．根据以上信息，黄金椭圆的离心率为 $\qquad$ ．
解答题
（1）一动圆与已知圆 $\mathrm{O}_1:(x+3)^2+y^2=1$ 外切，与圆 $\mathrm{O}_2:(x-3)^2+y^2=81$ 内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
（2）求过点 $\mathrm{A}(2,0)$ 且与圆 $x^2+4 x+y^2-32=0$ 内切的圆的圆心的轨迹方程．
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
（1）经过 $P(-2 \sqrt{3}, 0), Q(0,2)$ 两点；
（2）与椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ 有相同的焦点且经过点 $(2,-\sqrt{3})$ ．
已知 $F_1, F_2$ 是椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点，$P$ 是椭圆上的一个动点，求 $\left|\overrightarrow{P F_1}+\overrightarrow{P F_2}\right|$ 的最小值．
多选题
己知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{4}=1(a>2)$ 的焦点为 $F_1 、 F_2$ ，点 $A(2, \sqrt{3})$ 在椭圆 $C$ 的内部，点 $M$ 在椭圆 $C$ 上，则 ()

$\text{A.}$ $a>4$ $\text{B.}$ 椭圆 $C$ 的离心率的取值范围为 $\left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ $\text{C.}$ 存在点 $M$ 使得 $M F_1 \perp M F_2$ $\text{D.}$ $\left|M F_1\right|^2+\left|M F_2\right|^2>32$

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