设 $B$ 是椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的上顶点，若 $C$ 上的任意一点 $P$ 都满足 $|P B| \leq 2 b$ ，则 $C$ 的离心率的取值范围是（ ）
A
$\left[\frac{\sqrt{2}}{2}, 1\right)$
B
$\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
C
$\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$
D
$\left(0, \frac{1}{2}\right]$
E
F