单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
下列微分方程中：一阶线性微分方程的个数是（ ）．
（1）$(x y+1) d x-x d y=0$ ，
（2）$x^2+y^{\prime}=0$ ，
（3）$x^2+y y^{\prime}=1$ ，
（4）$x^2 y^{\prime}+y^{\prime \prime}=1$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的邻域内有定义，且 $f_x^{\prime}(0,0)=3, f_y^{\prime}(0,0)=1$ ，方向向量 $\vec{l}=(1,1)$ ，则必有
$\text{A.}$ $\left. d f(x, y)\right|_{(0,0)}=3 d x+ d y$
$\text{B.}$ $\left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(0,0)}=3 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}=2 \sqrt{2}$
$\text{C.}$ 上述两个答案都错
$\text{D.}$ 上述两个答案都对
设曲面 $\sum$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ ，区域 $\Omega$ 是由 $x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域，下列计算正确的是
（1） $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z=\iiint_{\Omega} d x d y d z$ ；
（2） $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) d S=\iint_{\Sigma} d S$ ．
$\text{A.}$ （1）对
$\text{B.}$ （2）对
$\text{C.}$ （1）（2）都对
$\text{D.}$ （1）（2）都错
设级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$ 收敛半径是 4，则级数 $\sum_{n=0}^{\infty} b_n(x-2)^n$ 在 $x=4$ 处（ ）．
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 不能确定敛散性
$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$（）．
$\text{A.}$ 一定收敛
$\text{B.}$ 一定发散
$\text{C.}$ 一定条件收敛
$\text{D.}$ 无法判断
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
过点 $(1,2,3)$ 且垂直于平面 $x+y+z=1$ 的直线方程为
$d \left(e^{2 x} \sin y\right)=$
设 $\Omega$ 是由圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=3$ 所围成的闭区域，则 $\iiint_{\Omega} d x d y d z=$
$\int_0^1 d y \int_{-\sqrt{1-y^2}}^{\sqrt{1-y^2}} f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right) d x$ 化为极坐标系下的二次积分为：
函数 $f(x)=e^{2 x}$ 在点 $x=0$ 的幕级数展开式为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求微分方程 $y^{\prime}=e^{2 x-y}$ ，满足 $y(0)=0$ 的特解．
设 $z=f(x y, x+y)$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算 $\iint_D e^{y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=1, x=0$ 所围成的闭区域．
计算 $\oint_L(2 x-y) d x+(5 y+3 x) d y$ ，其中 $L$ 是由上半圆 $y=\sqrt{4-x^2}$ 及 $x$ 轴所围成的闭曲线，方向取逆时针方向．
计算 $\oint_L\left(x^2+y^2\right) ds$ ，其中 $L: x^2+y^2=2 x$ ．
设 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}$ ，证明：
（1）级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的收敛域为 $(-\infty,+\infty)$ ；
（2）$S^{\prime \prime}(x)-S(x)=1$ ；
（3）利用（2）的结果求 $S(x)$ ．
设函数 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ ，
（1）求 $f(x, y)$ 的极值；
（2）求 $f(x, y)$ 在圆周 $x^2+y^2=25$ 上的最大、最小值；
（3）求 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大、小值．