俞正光编著线性代数同步辅导2003版(二次型)

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一、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设二次型

f = x_{1}^{2} - x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + 4 x_{2} x_{3}

试写出二次型

f

的矩阵。

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2. 将二次型

f = x_{1} x_{2} + x_{3} x_{4}

写成矩阵表示形式。

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3. 设

A = (\begin{array}{ccc} 1 & - 1 & 0 \\ - 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 \end{array})

，试写出以

A

为矩阵的二次型．

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4. 设

f = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} x_{i} \sum_{i = 1}^{n} b_{i} x_{i}

，试写出二次型的矩阵．

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5. 设

A = (a_{i j})

是

n

阶实对称矩阵，秩

A = n, A_{i j}

是

a_{i j}

的代数余子式，

i, j = 1, 2, \dots, n

．求二次型

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{A_{i j}}{| A |} x_{i} x_{j}

的矩阵，并写出

f

的矩阵表示式。

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6. 用配方法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换．

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + x_{2} x_{3} .

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7. 用配方法将下列二次型化为标准形，并写出可逆线性替换．

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = x_{1}^{2} + x_{2} x_{3}

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8. 用配方法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换．

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1} x_{2} + 3 x_{2} x_{3} + 4 x_{1} x_{3}

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