解答题 （共 16 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试求 $f(t)=|\sin t|$的离散频谱和它的傅里叶级数的复指数形式
求傅里叶变换 $f(t)=\left\{\begin{array}{lc}-1, & -1 < t < 0 \\ 1, & 0 < t < 1 \\ 0, & \text { 其它；}\end{array}\right.$
求傅里叶变换 $f(t)= \begin{cases}e^t, & t \leq 0 \\ 0, & t>0\end{cases}$
设 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |t| \leq 1 \\ 0, & |t|>1\end{array}\right.$ ，求 $f(z)$ 的傅氏变换，并推证：
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega \cos \omega t}{\omega} d \omega= \begin{cases}\frac{\pi}{2}, & |t| < 1 \\ \frac{\pi}{4}, & |t|=1 \\ 0, & |t|>1\end{cases}
$$
推出函数 $f(z)$ 的傅氏积分式的三角形式
$$
f(t)=\frac{1}{\pi} \int_0^{+\infty}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega(t-\tau) d \tau\right] d \omega
$$
求傅里叶变换 $\operatorname{sgn} t= \begin{cases}-1 & t < 0 \\ 1 & t>0\end{cases}$
求傅里叶变换 $f(t)=\cos t \sin t$
已知 $F(\omega)=\pi\left[\delta\left(\omega+\omega_0\right)+\delta\left(\omega-\omega_0\right)\right]$ 为函数 $f(t)$ 的傅氏变换，求 $f(t)$ 。
求函数 $f(t)=\frac{1}{2}\left[\delta(t+a)+\delta(t-a)+\delta\left(t+\frac{a}{2}\right)+\delta\left(t-\frac{a}{2}\right)\right]$ 的傅氏变换。
证明：若 $F \left[e^{j \varphi(t)}\right]=F(\omega)$ ，其中 $\varphi(t)$ 为一实函数，则
$$
\begin{aligned}
& F [\cos \varphi(t)]=\frac{1}{2}[F(\omega)+\overline{F(-\omega)}] \\
& F [\sin \varphi(t)]=\frac{1}{2 j}[F(\omega)-\overline{F(-\omega)}]
\end{aligned}
$$
其中 $\overline{F(-\omega)}$ 为 $F(\omega)$ 的共轭函数。
设 $f_1(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t < 0 \\ 1, & t \geq 0\end{array}, \quad f_2(t)=\left\{\begin{array}{ll}0, & t < 0 \\ e^{-t}, & t \geq 0\end{array}\right.\right.$ 求 $f_1(t) * f_2(t)$ 。
求$f(t)=\sin \omega_0 t \cdot u(t)$ 函数的傅氏变换。
求 $f(t)=e^{j \omega_0 t} \cdot t \cdot u(t)$ 函数的傅氏变换。
证明：$a\left[f_1(t) * f_2(t)\right]=\left[a f_1(t)\right] * F_2(t) \quad$（ $a$ 为常数）
若 $F_1(\omega)= F \left[f_1 \cdot(t)\right], F_1(\omega)= F \left[f_2(t)\right]$ ，证明：
$$
F \left[f_1(t) \cdot f_2(t)\right]=\frac{1}{2 \pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)
$$