解答题 （共 25 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-\sqrt{\cos x}}{x \tan x}$.
讨论极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{2-2 \cos x}}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\sin x-\cos x}{1+\sin p x-\cos p x}$ ( $p$ 为常数, $p \neq 0$ ).
求极限 $\lim _{x \rightarrow \alpha} \frac{\tan x-\tan \alpha}{x-\alpha}\left(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{\sin x+1}}{x^3}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a x}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\csc x-\cot x}{x}$.
设 $f(x)=\frac{2 a x^2-(a-2) x-1}{a x^2-\left(a^2-1\right) x-a}$
问: (1) 当 $a$ 为何值时, $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$;
(2) 当 $a$ 为何值时, $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\frac{1}{2}$;
(3) 当 $a$ 为何值时, $\lim _{x \rightarrow \frac{1}{2}} f(x)>0$, 并求出此极限值。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^4-1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+2 x)^5-(1+4 x)^3}{x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{(2 x-a)^m-a^m}{x^n-a^n}$ ( $m, n$ 为自然数 $)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^2\right)^3-\left(1-x^2\right)^4}{x^2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-2 x)^3-(1-x)^5}{(1+4 x)^2+(1-3 x)^3-2}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{\sqrt{x+5}-\sqrt{5}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt{5 x-1}-\sqrt{2 x+5}}{x^2-4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{\sqrt[3]{3 x+2}-2}{x-2}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-5 x+6}{x^2-4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^3-3 x+2}{x^4-4 x+3}$.
确定 $a, b$ 之值, 使当 $x \rightarrow-\infty$ 时, $f(x)=\sqrt{x^2-4 x+5}-(ax+b)$为无穷小
求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \tan 2 x \cdot \tan \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{a^x}{1+a^{2 x}} \quad(a>0, a \neq 1)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\left(4 x^2-3\right)^3(3 x-2)^4}{\left(6 x^2+7\right)^5}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x+1)\left(2^2 x^2+1\right)\left(3^2 x^2+1\right)\left(4^2 x^2+1\right)\left(5^2 x^2+1\right)}{\left(5 x^3-3\right)^3 \cdot 2^5}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(x-1)(2 x-1)(3 x-1)(4 x-1)(5 x-1)}{(2 x+3)^3(3 x+2)^2}$.
讨论极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 e^{3 x}-3 e^{-2 x}}{4 e^{3 x}+e^{-2 x}}$.