对弧长的曲线积分专项训练(基础版)

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一、填空题（共 4 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设平面曲线

L

为下半圆周

y = - \sqrt{1 - x^{2}}

则曲线积分

\int_{L} (x^{2} + y^{2}) d s =

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2. 计算

\oint_{L} x d s

. 其中

L : y = x, y = x^{2}

围成区域的整个边界.

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L : x + y = 1

从点

(1, 0)

到

(0, 1)

, 求

\int_{L} 2 x d x + y d y

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4. 设

L

为正向圆周

x^{2} + y^{2} = 2

在第一象限中的部分, 则曲线积分

\int_{L} x d y - 2 y d x

的值为多少?

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二、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

5. 计算曲面积分

\iint_{Σ} \frac{1}{z} d S

, 其中

Σ

是球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

被平面

z = h (0 < h < a)

截出的顶部.

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\sum

是平面

x + y + z = 1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0

上侧, 求

\iint_{Σ} z d x d y

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