重积分的应用举例

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一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求圆锥

z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

在圆柱体

x^{2} + y^{2} ⩽ x

内那一部分的面积.

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2. 计算球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2}

包含在球面

\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b ⩽ a)

内那部分的面积

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3. 计算由两个圆柱面

x^{2} + y^{2} = a^{2}

与

x^{2} + z^{2} = a^{2}

所围成的空间立体的体积

V

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4. 计算

\iint_{D} (x + y) d x d y

, 其中

D : x^{2} + y^{2} ⩽ x + y + 1

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5. 设

Ω

是锥面

x^{2} + (y - z)^{2} = (1 - z)^{2} (0 ⩽ z ⩽ 1)

与平面

z = 0

围成的锥体, 求

Ω

的形心坐标。

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6. 求立体

{(\frac{x}{a})}^{\frac{1}{n}} + {(\frac{y}{b})}^{\frac{1}{n}} + {(\frac{z}{c})}^{\frac{1}{n}} ⩽ 1, x, y, z ⩾ 0

的质心的

x

的坐标.

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