单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
若复数 $z=\left(m^2-1\right)+(m-1)$ i是纯虚数, 则实数 $m$ 等于（）
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $\pm 1$
已知复数 $=$ 满足 $z(1+\mathrm{i})=\mathrm{i}^{2023}$, 其中 i 为虚数单位, 则 $z$ 的虚部为 ( )
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{2} \mathrm{i}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
若 $(1+\mathrm{i}) z=2 \mathrm{i}$, 则 $z \cdot \bar{z}=(\quad)$
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ -2
已知复数 $z$ 满足 $z+2 \mathrm{i}=\mathrm{i} z$ (其中 i 为虚数单位), 则 $|z|= $
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ $2 \sqrt{2}$
i 是虚数单位, 设复数 $z$ 满足 $(\mathrm{i}-1) z=|1+\sqrt{3} \mathrm{i}|+3 \mathrm{i}$, 则 $z$ 的共轭复数对应的点位于 ( )
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗发现的, 由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式: $[r(\cos \theta+i \sin \theta)]^n=r^n(\cos n \theta+i \sin n \theta)$. 根据复数乘方公式，复数 $\left[-2\left(\cos \frac{\pi}{5}+i \sin \frac{\pi}{5}\right)\right]^{2023}$ 在复平面内对应的点位于（）
$\text{A.}$ 第一象限
$\text{B.}$ 第二象限
$\text{C.}$ 第三象限
$\text{D.}$ 第四象限
若 $\left|z_1-z_2\right|=1$, 则称 $z_1$ 与 $z_2$ 互为 "邻位复数". 已知复数 $z_1=a+\sqrt{3} \mathrm{i}$ 与 $z_2=1+b \mathrm{i}(a, b \in \mathrm{R})$ 互为 "邻位复数", 则 $a^2+b^2$ 的最大值为 $(\quad)$
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 9
$\text{C.}$ 6
$\text{D.}$ 4
复数 $z=x+y \mathrm{i} \quad(x, y \in \mathbf{R}, \mathrm{i}$ 为虚数单位) 在复平面内对应点 $Z(x, y)$, 则下列为真命题的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $|z+1|=|z-1|$, 则点 $Z$ 在圆上
$\text{B.}$ 若 $|z+1|+|z-1|=2$, 则点 $Z$ 在椭圆上
$\text{C.}$ 若 $|z+1|-|z-1|=2$, 则点 $Z$ 在双曲线上
$\text{D.}$ 若 $|x+1|=|z-1|$, 则点 $Z$ 在抛物线上
多选题 （共 4 题 ），每题有多个选项正确
已知复数 $z_1, z_2$, 则下列结论中正确的是 ( )
$\text{A.}$ 若 $z_1 z_2 \in \mathbf{R}$, 则 $z_2=\overline{z_1}$
$\text{B.}$ 若 $z_1 z_2=0$, 则 $z_1=0$ 或 $z_2=0$
$\text{C.}$ 若 $z_1 z_2=z_1 z_3$ 且 $z_1 \neq 0$, 则 $z_2=z_3$
$\text{D.}$ 若 $z_1^2=z_2^2$, 则 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$
下列命题正确的有（）
$\text{A.}$ 若复数 $z=a+b \mathrm{i}(a, b \in \mathbf{R})$ 在复平面上对应的点在虚轴上, 则 $a=0$
$\text{B.}$ 复数 $z$ 的共轭复数为 $\bar{z}$, 则 $z \in \mathbf{R}$ 的一个充要条件是 $z=\bar{z}$
$\text{C.}$ 若 $\left(x^2-1\right)+\left(x^2-2 x-3\right) \mathrm{i},(x \in \mathbf{R})$ 是纯虚数, 则实数 $x= \pm 1$
$\text{D.}$ 关于 $x$ 的方程 $x^2+2 x+3=0$ 在复数范围内的两个根互为共轭复数
已知复数 $z$ 满足 $(2+\mathrm{i}) z=1+3 \mathrm{i}$, 则 $(\quad)$
$\text{A.}$ $|z|=\sqrt{2}$
$\text{B.}$ $\bar{z}$ 在复平面内对应的点位于第二象限
$\text{C.}$ $z^4=4$
$\text{D.}$ $z$ 满足方程 $z^2-2 z+2=0$
欧拉公式 $\mathrm{e}^{\mathrm{xi}}=\cos x+\mathrm{i} \sin x$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立, 该公式将指数函数的定义域扩大到复数集, 建立了三角函数与指数函数的关联, 在复变函数论里面占有非常重要的地位, 被誉为数学中的天桥. 依据欧拉公式, 下列说法中正确的是 ( )
$\text{A.}$ $e^{3 i}$ 对应的点位于第二象限
$\text{B.}$ $e^{2 \pi i}$ 为实数
$\text{C.}$ $\frac{\mathrm{e}^{x i}}{\sqrt{3}+\mathrm{i}}$ 的模长等于 $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{\frac{\pi}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知复数 $z$ 满足 $z \cdot \mathrm{i}=2+\mathrm{i}$, 则 $z^2=$
关于 $x$ 的方程 $x^2-4 x+c=0(c \in \mathbf{R})$ 在复数范围内有一根为 $2+\sqrt{3 i}$, 则 $c=$
已知复数 $z$ 满足: $z^2=-5-12 \mathrm{i}$ ( i 为虚数单位), 写出一个满足条件的 $z$ 为
在复平面内, 已知复数 $=$ 满足 $|z-1|=|z+\mathrm{i}|$ ( i 为虚数单位), 记 $z_0=2+\mathrm{i}$ 对应的点为点 $Z_0, z$ 对应的点为点 $Z$,则点 $Z_0$ 与点 $Z$ 之间距离的最小值为