一、单选题 （共 29 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设$$
\begin{gathered}
\mathbf{A}=\left(\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right), \quad \mathbf{B}=\left(\begin{array}{ccc}
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{31}+a_{11} & a_{32}+a_{12} & a_{33}+a_{13}
\end{array}\right), \\
\mathbf{P}_1=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right), \quad \mathbf{P}_2=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1
\end{array}\right),
\end{gathered}
$$
则必有
$\text{A.}$ $\mathbf{A} \mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2=\mathbf{B}$;
$\text{B.}$ $\mathbf{A P}_2 \mathbf{P}_1=\mathbf{B}$;
$\text{C.}$ $\mathbf{P}_1 \mathbf{P}_2 \mathbf{A}=\mathbf{B}$;
$\text{D.}$ $\mathbf{P}_2 \mathbf{P}_1 \mathbf{A}=\mathbf{B}$.
设 $\mathbf{A}$ 是 4 阶矩阵, 且 $\mathbf{A}$ 的行列式 $|\mathbf{A}|=0$, 则 $\mathbf{A}$ 中
$\text{A.}$ 必有一列元素全为 0 ;
$\text{B.}$ 必有两列元素成比例;
$\text{C.}$ 必有一列向量是其余列向量的线性组合;
$\text{D.}$ 任意列向量是其余列向量的线性组合.
设 $\mathbf{A}$ 是 $5 \times 6$ 矩阵, 而且 $\mathbf{A}$ 的行向量线性无关, 则
$\text{A.}$ $\mathbf{A}$ 的列向量线性无关;
$\text{B.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的行向量线性无关;
$\text{C.}$ 线性方程组 $\mathbf{A} \mathbf{X}=\mathbf{B}$ 的增广矩阵 $\overline{\mathbf{A}}$ 的任意四个列向量线性无关;
$\text{D.}$ 线性方程组 $\mathbf{A X}=\mathbf{B}$ 有唯一解.
设矩阵 $\mathbf{A}$ 是三阶方阵, $\lambda_0$ 是 $\mathbf{A}$ 的二重特征值, 则下面各向量组中:
(1) $(1,3,-2)^T,(4,-1,3)^T,\left(\begin{array}{lll}0 & 0, & 0\end{array}\right)^T$;
(2) $(1,1,1)^T,(1,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
(3) $(1,-1,2)^T,(2,-2,4)^T,(3,-3,6)^T$;
(4) $(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T$;
肯定不属于 $\lambda_0$ 的特征向量共有
$\text{A.}$ 1 组;
$\text{B.}$ 2 组;
$\text{C.}$ 3 组;
$\text{D.}$ 4 组;
设 $\mathbf{A}$ 是 $n$ 阶对称矩阵, $\mathbf{B}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵, 则下列矩阵中, 可用正交变换化为对角矩阵的矩阵 为
$\text{A.}$ BAB ;
$\text{B.}$ ABA ;
$\text{C.}$ $(\mathbf{A B})^2$;
$\text{D.}$ $\mathbf{A B}^2$.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量. 下列命题中, 错误的 是
$\text{A.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{B.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{C.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=0$ 有非零解.
$\text{D.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=0$ 有非零解.
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶正交矩阵,且 $\boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{E}$. 若 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 均为非零向量,且 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}$ 线性无关, $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{A} \alpha, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 线 性相关, $\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\beta}^{\mathrm{\top}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=0$, 则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{\alpha}$ 均正交.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{\beta}$ 与 $A \beta$ 正交,不与 $A^2 \alpha$ 正交.
$\text{C.}$ $A \beta$ 与 $\alpha, A \alpha$ 均正交.
$\text{D.}$ $A \beta$ 与 $\alpha$ 正交, 不与 $A \alpha$ 正交.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_3-2 x_2 x_3$. 若二次曲面 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=1$ 上的 点到坐标原点的距离有最大值, 则 $a$ 可能为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵, 则下列表达式一定正确的是
$\text{A.}$ $(A+B)^2=A^2+2 A B+B^2$
$\text{B.}$ $(A+B)(A-B)=A^2-B^2$
$\text{C.}$ $(A B)^2=A^2 B^2$
$\text{D.}$ $(A+E)(A-E)=A^2-E$
矩阵 $A$ 是由 3 阶单位矩阵 $E$ 依次经过初等变换 $c_1+2 c_3, r_2 \leftrightarrow r_3$ 得到的, 其对应的初等 矩阵分别为 $P_1=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1\end{array}\right), P_2=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right)$, 则 $A$ 可以表示为
$\text{A.}$ $P_1 P_2$
$\text{B.}$ $P_1^{-1} P_2$
$\text{C.}$ $P_2 P_1$
$\text{D.}$ $P_2 P_1^{-1}$
设线性方程组 $A_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}(m \leq n)$ 对于任意的 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$ 都有解, 则
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $ R(A)=m$
$\text{C.}$ $R(A)>n$
$\text{D.}$ $R(A) < m$
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=5 x_1{ }^2+6 x_2{ }^2+4 x_3{ }^2-4 x_1 x_2-4 x_1 x_3$, 则下列正确的是
$\text{A.}$ $f$ 是正定
$\text{B.}$ $f$ 是负定
$\text{C.}$ $ f$ 即不是正定, 也不是负定
$\text{D.}$ $f$ 的秩等于1
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 均为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, 满足 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=k \boldsymbol{E}$, 则下列 $k$ 值中, 使 $r(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{E})+r(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{E})$ 最 小的是
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ -1
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶非零矩阵,则下列条件中,不是 $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 与 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 有非零公共解的充分条件的个 数是
(1) $r\left(\begin{array}{c}A \\ A^*\end{array}\right) < 3$.
(2) $r\left(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{A}^*\right) < 3$.
(3) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 是对称矩阵.
(4) $r(\boldsymbol{A})=2$, 且 $\boldsymbol{A}^*$ 不是对称矩阵.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $|A|=\frac{1}{2}$ ，则行列式 $\left|-2 A^*\right|$ 等于
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
矩阵 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 的逆矩阵为
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设 $A$ 是 $n$ 阶非零矩阵，满足 $A=A^2$ ，若 $A \neq E$ ，则
$\text{A.}$ $|A|=0$
$\text{B.}$ $|A|=1$
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}$ 可逆
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}$ 满秩
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2$ $+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3 ， a$ 是使二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定的正整 数，则必有
$\text{A.}$ $a=2$
$\text{B.}$ $a=1$
$\text{C.}$ $a=3$
$\text{D.}$ 以上选项都不对
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1). $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
(2). $C A B=E$
(3). $C^* B^* A^*=E$
(4). $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中只能有一个为 0
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3\end{array}\right.$ 无解, 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}d_1 \\ d_2 \\ d_3\end{array}\right],\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\end{array}\right)$ 为分块 矩阵, 则下列说法正确的是 ( )
(1). $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
(2). 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
(3). $R(Ab) -R(A)=2$ 是可能成立的
(4). $\boldsymbol{b}$ 的模长一定不是 0
$\text{A.}$ (1)(4)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)
$\text{D.}$ (2)(4)
(a) $\left[(A B)^T\right]^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\left(B^{-1}\right)^T$
(b) $A C$ 可道, 且 $A C=B C$, 则 $A=B$
(c) 3 是 $A$ 的特征值, 则 21 是 $A^3-2 A$ 的特征值
则上述正确的是
$\text{A.}$ (a)
$\text{B.}$ (b)
$\text{C.}$ (c)
$\text{D.}$ 全部
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]$ 的关系是
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 不合同也不相似
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$