一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}3 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 4 & 2\end{array}\right), C=A B^{-1}$ ， 则 $C^{-1}$ 的第 3 行第1列的元素为
$\text{A.}$ 4
$\text{B.}$ 8
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ -1
设 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+2 x_3^2+2 a x_1 x_2$ $+2 a x_1 x_3+2 a x_2 x_3 ， a$ 是使二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 正定的正整 数，则必有
$\text{A.}$ $a=2$
$\text{B.}$ $a=1$
$\text{C.}$ $a=3$
$\text{D.}$ 以上选项都不对
设 $m, n$ 均为正整数, 并且 $m < n$, 设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times m$ 的矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 的矩阵, $\boldsymbol{C}$ 为 $n \times m$ 的矩阵, 已知 $\boldsymbol{A B C}=\boldsymbol{E}$, 设 $\boldsymbol{A}^*$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1). $\boldsymbol{B C A}=\boldsymbol{E}$
(2). $C A B=E$
(3). $C^* B^* A^*=E$
(4). $\boldsymbol{A}^T \boldsymbol{C}^T \boldsymbol{B}^T=\boldsymbol{E}$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关
$\text{B.}$ 若 3 个 3 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交
$\text{C.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中至少一个为 0
$\text{D.}$ 若 3 个 2 维列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 两两正交, 则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 中只能有一个为 0
已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\ a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\ a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3\end{array}\right.$ 无解, 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}d_1 \\ d_2 \\ d_3\end{array}\right],\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{X} & \boldsymbol{Y}\end{array}\right)$ 为分块 矩阵, 则下列说法正确的是 ( )
(1). $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
(2). 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
(3). $R(Ab) -R(A)=2$ 是可能成立的
(4). $\boldsymbol{b}$ 的模长一定不是 0
$\text{A.}$ (1)(4)
$\text{B.}$ (1)(2)(3)
$\text{C.}$ (1)(3)
$\text{D.}$ (2)(4)
(a) $\left[(A B)^T\right]^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T\left(B^{-1}\right)^T$
(b) $A C$ 可道, 且 $A C=B C$, 则 $A=B$
(c) 3 是 $A$ 的特征值, 则 21 是 $A^3-2 A$ 的特征值
则上述正确的是
$\text{A.}$ (a)
$\text{B.}$ (b)
$\text{C.}$ (c)
$\text{D.}$ 全部
矩阵 $\left[\begin{array}{ccc}3 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 与 $\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3\end{array}\right]$ 的关系是
$\text{A.}$ 合同且相似
$\text{B.}$ 合同但不相似
$\text{C.}$ 相似但不合同
$\text{D.}$ 不合同也不相似
向量组 $\alpha_1=[1,2,-1,1], \alpha_2=[2,0, t, 0], \alpha_3=[-1,2,-4,1]$ 的秩为 2 , 则 $t$ 为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 0
如果 $[1,0,1]^T,[1,2,3]^T$ 是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也 是方程组的解?
$\text{A.}$ $[2,2,4]^T$
$\text{B.}$ $[0,2,2]^T$
$\text{C.}$ $[1,-2,-1]^T$
$\text{D.}$ $[2,0,2]^T$
$A, B$ 分别是 $m$ 阶和 $n$ 阶方阵, 则 $\left[\begin{array}{ll}O & A \\ B & O\end{array}\right]$ 的伴随矩阵是
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{cc}O & |B| B^* \\ |A| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $(-1)^{m n}\left[\begin{array}{cc}O & |A| B^* \\ |B| A^* & O\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $(-1)^{m n}|A||B|\left[\begin{array}{cc}O & B^* \\ A^* & O\end{array}\right]$
二、判断题 （共 6 题，每小题 5 分，共 20 分）
设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性表示, 但不能由 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}$ 线性表示, 则向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 与向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_{m-1}, \beta$ 等价.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若 $n$ 阶行列式不等于零, 则它的所有 $n-1$ 阶子式可以都为零
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
设 $A$ 为 $m \times n$ 阶矩阵, $B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, 则 $R(A) < R(A B)$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
奇数阶反对称矩阵 $A$ 的行列式 $|A|=0$.
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误
若存在正整数 $k$ 使 $A^k=O$, 则 $A$ 的特征值只能是 0 .
$\text{A.}$ 正确
$\text{B.}$ 错误