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试卷具撒大大大大体名称

数学

一、单选题（共 10 题），每题只有一个选项正确

1. 设

A = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 6 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}), B = (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0 \\ 1 & - 1 & 0 \\ - 3 & 4 & 2 \end{array}), C = A B^{- 1}

，则

C^{- 1}

的第 3 行第1列的元素为

A.

4

B.

8

C.

0

D.

-1

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2. 设

f (x_{1}, x_{2}, x_{3}) = 2 x_{1}^{2} + 2 x_{2}^{2} + 2 x_{3}^{2} + 2 a x_{1} x_{2}

+ 2 a x_{1} x_{3} + 2 a x_{2} x_{3} ， a

是使二次型

f (x_{1}, x_{2}, x_{3})

正定的正整数，则必有

A.

a = 2

B.

a = 1

C.

a = 3

D.

以上选项都不对

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3. 设

m, n

均为正整数, 并且

m < n

, 设

A

为

m \times m

的矩阵,

B

为

m \times n

的矩阵,

C

为

n \times m

的矩阵, 已知

A B C = E

, 设

A^{*}

为

A

的伴随矩阵, 则下列说法正确的个数有 ( ) 个
(1).

B C A = E

(2).

C A B = E

(3).

C^{*} B^{*} A^{*} = E

(4).

A^{T} C^{T} B^{T} = E

A.

1

B.

2

C.

3

D.

4

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4. 下列说法中正确的是

A.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关

B.

若 3 个 3 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

线性无关, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交

C.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中至少一个为 0

D.

若 3 个 2 维列向量

α_{1}, α_{2}, α_{3}

两两正交, 则

α_{1}, α_{2}, α_{3}

中只能有一个为 0

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5. 已知方程组

{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} z = d_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} z = d_{2} \\ a_{3} x + b_{3} y + c_{3} z = d_{3} \end{cases}

无解, 记

A = [\begin{array}{lll} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array}], b = [\begin{array}{l} d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{array}], (\begin{array}{ll} X & Y \end{array})

为分块矩阵, 则下列说法正确的是 ( )
(1).

A x = 0

有无穷多解
(2). 若

R (A) = 2

, 则

A^{*} b = 0

(3).

R (A b) - R (A) = 2

是可能成立的
(4).

b

的模长一定不是 0

A.

(1)(4)

B.

(1)(2)(3)

C.

(1)(3)

D.

(2)(4)

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6. (a)

{[(A B)^{T}]}^{- 1} = {(A^{- 1})}^{T} {(B^{- 1})}^{T}

(b)

A C

可道, 且

A C = B C

, 则

A = B

(c) 3 是

A

的特征值, 则 21 是

A^{3} - 2 A

的特征值
则上述正确的是

A.

(a)

B.

(b)

C.

(c)

D.

全部

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7. 矩阵

[\begin{array}{ccc} 3 & - 2 & 0 \\ - 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 \end{array}]

与

[\begin{array}{ccc} 1 & - 2 & 0 \\ - 2 & 2 & - 2 \\ 0 & - 2 & 3 \end{array}]

的关系是

A.

合同且相似

B.

合同但不相似

C.

相似但不合同

D.

不合同也不相似

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8. 向量组

α_{1} = [1, 2, - 1, 1], α_{2} = [2, 0, t, 0], α_{3} = [- 1, 2, - 4, 1]

的秩为 2 , 则

t

为

A.

1

B.

2

C.

3

D.

0

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9. 如果

[1, 0, 1]^{T}, [1, 2, 3]^{T}

是非齐次线性方程组的两个解, 则下面哪个也是方程组的解?

A.

[2, 2, 4]^{T}

B.

[0, 2, 2]^{T}

C.

[1, - 2, - 1]^{T}

D.

[2, 0, 2]^{T}

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10.

A, B

分别是

m

阶和

n

阶方阵, 则

[\begin{array}{ll} O & A \\ B & O \end{array}]

的伴随矩阵是

A.

[\begin{array}{cc} O & | B | B^{*} \\ | A | A^{*} & O \end{array}]

B.

(- 1)^{m n} [\begin{array}{cc} O & | A | B^{*} \\ | B | A^{*} & O \end{array}]

C.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \end{array}]

D.

(- 1)^{m n} | A | | B | [\begin{array}{cc} O & B^{*} \\ A^{*} & O \end{array}]

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二、判断题（共 6 题）

11. 设

β

可由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

线性表示, 但不能由

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}

线性表示, 则向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m}

与向量组

α_{1}, α_{2}, \dots, α_{m - 1}, β

等价.

A.

正确

B.

错误

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12. 当齐次线性方程组有非零解时定有基础解系

A.

正确

B.

错误

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13. 若

n

阶行列式不等于零, 则它的所有

n - 1

阶子式可以都为零

A.

正确

B.

错误

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14. 设

A

为

m \times n

阶矩阵,

B

为

n

阶可逆矩阵, 则

R (A) < R (A B)

.

A.

正确

B.

错误

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15. 奇数阶反对称矩阵

A

的行列式

| A | = 0

.

A.

正确

B.

错误

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16. 若存在正整数

k

使

A^{k} = O

, 则

A

的特征值只能是 0 .

A.

正确

B.

错误

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