一、填空题 （共 5 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+\mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$, 则 $f(x-1)$ 的间断点为
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
$\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^2 \sqrt{x^2+1}} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
二、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设平面区域 $D_1$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=-1, x=a, y=0$ 所围成, 平 面区域 $D_2$ 由曲线 $y=|x|$, 直线 $x=a, x=1, y=0$ 所围成, 其中 $0 < a < 1$.
(1) 求 $D_1$ 绕 $x$ 轴旋转所得旋转体的体积 $V_1, D_2$ 绕直线 $x=a$ 旋转所得旋转体的体积 $V_2$.
(2) 求 $V_1+V_2$ 的最小值.
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$. 讨 论 $f$ 在原点的连续性，偏导数的存在性以及 $f$ 在原点的可微性.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足: $a_1=1, a_n=\frac{a_{n-1}}{n\left(a_{n-1}+1\right)}, n \geqslant 2$, 证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} n ! a_n=\frac{1}{e}$.