一、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求曲面 $x^2+x y+e^z=3$ 在点 $(1,1,0)$ 处的切平面 及法线方程.
设函数 $z=f\left(x, 2 x-y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二 阶连续偏导数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 和 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
计算二重积分 $\iint_D\left|y^2-x^2\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid x \in[-1,1], y \in[0,2]\} .
$$
已知函数 $u=x^2+e^y z$ ，其中 $z=z(x, y)$ 由方程 $x z+\ln (1+y z)=1$ 确定，求函数 $u$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\mathrm{d}=(3,-4)$ 的方向导数.
计算曲面积分 $\iint_{\Sigma}(2 z+1) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中曲面 $\Sigma: z=x^2+y^2(0 \leq z \leq 1)$ ， 方向取下侧.
求变力 $\mathrm{F}=\left(x+y-x y, x-y+y^2\right)$ 将质点从原 点 $O(0,0)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 移动到点 $A(\pi, 0)$ 所做的功.
设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且
$$
f(0)=1, f^{\prime}(0)=1 \text {. }
$$
假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ，恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$
试求 $f(x)$ 的表达式.
计算 $I=\iiint_{\Omega} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \mathrm{~d} V$ ，其中 $\Omega$ 是由 曲面 $\Sigma:\left(x^2+y^2+z^2\right)^2=x^2+y^2$ 所围成的闭区域.
飞行器在发射升空的过程中，由于其表面与空气摩 擦，飞行器的表面温度会发生变化. 设飞行器表面为椭球面， 其方程为 $4 x^2+y^2+4 z^2=16$ ，表面的温度函数为
$$
T=8 x^2+4 y z-16 z+600 .
$$
试确定飞行器表面温度最高和最低的点.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) ! !}+\cdots
$$
的和函数.
(1)求 $S(x)$ 的定义域；
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.