单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 连续，且偏导数存在
$\text{B.}$ 连续，且偏导数不存在
$\text{C.}$ 不连续，且偏导数存在
$\text{D.}$ 不连续，且偏导数不存在
记 $I_k=\iint_{D_k}(y-x) d x d y$ ，其中 $D_k$ 是圆域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1\right\}$ 在第 $k$ 象限
部分，这里 $k=1,2,3,4$ ，则 ．
$\text{A.}$ $I_1 < 0$
$\text{B.}$ $I_2 < 0$
$\text{C.}$ $I_3 < 0$
$\text{D.}$ $I_4 < 0$
设 $s(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n x$ ，其中 $b_n=\frac{1}{\pi} \int_0^\pi x^4 \sin n x \mathrm{~d} x$ ，则 $s(-2)=$ $\_\_\_\_$ ．
$\text{A.}$ 16
$\text{B.}$ -16
$\text{C.}$ 8
$\text{D.}$ -8
填空题 （共 3 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+1)^{2 n}$ 在 $[-3,4]$ 上收敛，该级数的可能最大的绝对收敛区间是
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\mathrm{e}^x, & -1 \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的傅里叶级数的和函数 $s(x)$ 在点 $x=-4$ 处收敛于（）
在点 $x=5$ 处收敛于（）
要使级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n^{2 p}}\right)$ 收敛，则 $p$ 的范围是
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 为收敛正项级数，证明：$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(n \tan \frac{1}{n}\right) a_{2 n}$ 绝对收敛．
设 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛，且（1）数列 $a_n$ 有界；（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 存在；（3）$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，证明：如果以上 3 个条件有一个成立，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n b_n$ 绝对收敛。
设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n$ 都收敛，且自某项起，有 $a_n \leq b_n \leq c_n$ ，证明 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 也收敛。