单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
函数 $u=f(x, y, z)$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 点沿任意方向的方向导数存在是该函数在该点可微分的 条件；
$\text{A.}$ 充分
$\text{B.}$ 必要
$\text{C.}$ 充分必要
$\text{D.}$ 无关
设函数 $f(x, y)$ 可微，且对任意 $x, y$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$ ，则使不等式 $f\left(x_1, y_1\right) < f\left(x_2, y_2\right)$ 成立的一个充分条件是 ．
$\text{A.}$ $x_1>x_2, y_1 < y_2$
$\text{B.}$ $x_1>x_2, y_1>y_2$
$\text{C.}$ $x_1 < x_2, y_1 < y_2$
$\text{D.}$ $x_1 < x_2, y_1>y_2$
函数 $z=\ln \left(1+x^2+y^2\right)$ ，则 $\left.d z\right|_{x=1,y=2}= $
$\text{A.}$ $\frac{2}{3} d x+\frac{1}{3} d y$
$\text{B.}$ $d x+2 d y$
$\text{C.}$ $2 d x+d y$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3} d x+\frac{2}{3} d y$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$f(x, y, z)=\frac{\left(y^2+1\right)^{x^2}}{z^2}$, 则 $f_x(1,1,1)=$ $\_\_\_\_$ , $f_{y y}(1,1,1)=$ $\_\_\_\_$ , $f_{z z z}(1,0,1)=$ $\_\_\_\_$
$f(x, y)$ 具有二阶连续偏导，试写出判别函数 $f(x, y)$ 在 $\left(x_0, y_0\right)$ 取得极小值的一个充分条件： $\_\_\_\_$ ，并且 $\_\_\_\_$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$f(x, y) \in C^2, z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ ．
（1）求偏导数 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ；
（2）若 $z=f(3 x+2 y, 4 x-3 y)$ 确定了函数 $y=y(x, z)$ ，求全微分 $\mathrm{d} y$ ．
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求原点与该椭圆上点的距离的最大值与最小值．
设函数 $u=x^2+y z$ ，而 $z=z(x, y)$ 是由方程 $z=f(x, y+z)$ 确定的可微函数，其中 $f$ 具有连续的偏导且 $f_2^{\prime} \neq 1$ ，求偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$
若在某一包含点 $p(x, y)$ 在内的区域上 $f(x, y)$ 的偏导数 $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 存在而且有界，则它在这个区域上连续．这个命题是否正确？
证明： $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2 y}{x^4+y^2}$ 不存在．
设 $z=f(2 x-y, y \sin x)$ ，其中 $f(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
假设函数 $y=y(x), z=z(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}z=x^2+y^2 \\ x^2+2 y^2+3 z^2=20\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}, \frac{d z}{d x}$.
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x) 、 g(x)$ 具有连续的二阶导数，证明：函数 $u=f(s+a t)+g(s-a t)$ 满足波动方程 $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial s^2}$ ，其中 $a$ 是常数
设有一圆柱体，它的底半径以 $0.1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速率在增大，而高度以 $0.2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度在减少，试求当底半径为 100 cm ，高 120 cm 时，
（1）圆柱体体积的变化率；
（2）圆柱体表面积的变化率．
$f(x, y, z)=x^2(y+z) z+\mathrm{e}^{-y^2 \arctan \frac{x^3+z^2}{x+z}}$ ，求偏导数 $f_{x z}(x, 0, z)$ ．
求下列各极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^2|y|^{\frac{3}{2}}}{x^4+y^2}$