单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x)=\left|x-\frac{1}{2}\right|, b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x d x(n=1,2, \cdots)$, 令 $S(x)=$ $\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$, 则 $S\left(-\frac{9}{4}\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$.
设函数 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$, 其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x d x, n=1,2,3 \cdots$, 则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, 0 \leqslant x \leqslant \frac{1}{2} \\ 2-2 x, \frac{1}{2} < x < 1\end{array}\right.$ ，而
$$
s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x,-\infty < x < +\infty,
$$
其中 $a_n=2 \int_0^1 f(x) \cos n \pi x d x, n=0,1,2, \cdots$ ，则 $s\left(-\frac{5}{2}\right)$ 等于
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}$
设函数 $f(x)=x^2, 0 \leqslant x \leqslant 1, S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x,-\infty < x < +\infty$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2,3 \cdots$ ，则 $S\left(-\frac{1}{2}\right)=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $-\frac{1}{4}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$ ．
填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
将函数 $f(x)=x(4-x), x \in(0,4)$ 展开成周期为 4 的Fourier级数, 并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和。
求和 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n)!}$.
将函数 $f(x)=3 x^2+1(-\pi \leq x < \pi)$ 展开成周期为 $2 \pi$ 的傅里叶级数．
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，它在 $[-\pi, \pi)$ 上的表达式为 $f(x)=x$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶级数在 $x=3$ 处收敛于 $\_\_\_\_$ ，在 $x=\pi$ 处收敛于 $\_\_\_\_$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leq 0, \\ 1+x^2, & 0 < x \leq \pi,\end{array}\right.$ ，則其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
已知 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的周期函数，在 $(-\pi, \pi]$ 上 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}-\pi, & -\pi < x \leq 0 \\ x, & 0 < x \leq \pi\end{array}\right.$ ，则 $f(x)$ 的傅立叶级数在 $x=0$ 处收敛于
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leqslant x \leqslant \pi)$ ，则 $a_2=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{-x}, & -\pi \leq x < 0 \\ 1, & 0 \leq x < \pi\end{array}\right.$ ，则其以 $2 \pi$ 为周期的傅立叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
讨论以下级数的收敛性:
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}},
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分.
设 $f(x)=2+x(0 \leqslant x \leqslant 1)$ ，求 $f(x)$ 的以 2 为周期的余弦级数，并求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x,-\pi \leqslant x \leqslant 0 \\ 3,0 < x < \pi\end{array}, s(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)\right.$ 是 $f(x)$ 的以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数，则 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n=$
设 $f(x)$ 为 $2 \pi$ 周期函数，在 $[-\pi, \pi]$ 上的定义为 $f(x)=\frac{2 \pi|x|-x^2}{4}, x \in[-\pi, \pi]$ ．
（I）求 $f(x)$ 的 Fourier 级数；
（II）利用 $f(x)$ 的 Fourier 级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ ；
（III）利用 $f(x)$ 的 Fourier 级数求数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}$ ．
非化工类做）设函数 $f(x)$ 以 $2 \pi$ 为周期，它在 $[-\pi, \pi]$ 上的表
达式为 $f(x)\left\{\begin{array}{l}1,0 < x < \pi \\ 0, x=0, \pm \pi \\ -1,-\pi < x < 0\end{array}\right.$ ，求 $f(x)$ 的 Fourier 级数及其和函数在 $x=-\pi$ 处的值
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数，在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ．
（1）证明：$\forall x \in R, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 n-1) x}{(2 n-1)^3}$ ；
（2）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为周期的函数且 $f(x)= \begin{cases}1, & x \in[0, \pi] ; \\ 0, & x \in(-\pi, 0) .\end{cases}$
(1)求 $f(x)$ 的Fourier展开式, 并分别计算和函数在 $\frac{7 \pi}{2}$ 及 $7 \pi$ 处的值;
(2)求实系数 $A_0, A_1, \ldots, A_{10}$ 和 $B_1, B_2, \ldots, B_{10}$ 使下面的积分:
$$
\int_{-\pi}^\pi\left[(f(x)-g(x))^2+g^2(x)\right] d x
$$
达到最小值, 其中函数 $g(x)=\frac{A_0}{2}+\sum_{n=1}^{10}\left(A_n \cos n x+B_n \sin n x\right)$.