单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设常数 $k>0$ ，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{k+n}{n^2}$
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 绝对收敛
$\text{C.}$ 条件收敛
$\text{D.}$ 收敛或发散与 $k$ 的取值有关
设 $\alpha$ 为常数，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\sin n \alpha}{n^2}-\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 的取值有关
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
设 $u_n=(-1)^n \ln \left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)$ ，则级数
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都收敛。
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 都发散．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 发散。
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 发散而 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛。
设 $\left\{u_n\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{u_n}$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}^2-u_n^2\right)$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）
$\text{A.}$ 发散．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 绝对收敛．
$\text{D.}$ 敛散性与 $\alpha$有关
下列级数中发散的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n}$ ．
$\text{B.}$ $\sum_{n-1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$ ．
$\text{C.}$ $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n+1}{\ln n}$ ．
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n}$ ．
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \sin (n+k)$（ $k$ 为常数）
$\text{A.}$ 绝对收敛．
$\text{B.}$ 条件收敛．
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 收敛性与 $k$ 有关．
若 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=-1$ 处收敛，则此级数在 $x=2$ 处
$\text{A.}$ 条件收敛．
$\text{B.}$ 绝对收敛。
$\text{C.}$ 发散．
$\text{D.}$ 敛散性不能确定。
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n^2$ 收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$ 的收敛性为 $\qquad$ （绝对收敛、条件收敛、发散）．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\cos \left(n^3\right)}{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}\right)$ 的敛散性（选填：＂绝对收敛＂、＂条件收敛＂或＂发散＂）
解答题 （共 23 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^n+(-2)^n} x^n$ 的收敛区间与收敛域。
判定等比级数 $\sum_{n=0}^{\infty} q^n$ 的敛散性，并在其收敛时求出级数的和．
设数列 $\left\{n a_n\right\}$ 与级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n\left(a_n-a_{n+1}\right)$ 都收敛．证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也收敛．
判断下列级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)(n+2)}}$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2 n+1}{n+4}\right)^n$ ；
判断下列级数的敛散性
（3）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(n \sin \frac{1}{n}\right)^{n^3}$ ；
（4）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ ；
判断下列级数的收敛性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$ ；
判断下列级数的收敛性 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n \ln n}{n}$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\mathrm{e}^{\frac{1}{n}}}{n+1}+\frac{\mathrm{e}^{\frac{2}{n}}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\mathrm{e}^{\frac{n}{n}}}{n+\frac{1}{n}}\right)$;
判定级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ln \frac{n+1}{n}$ 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}(\alpha>0)$ 的敛散性．
判别正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ 的敛散性．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 的收敛性，其中 $a_n=\sin ^2 x \sin ^2 2 x \ldots \sin ^2 2^n x, x \in(-\infty,+\infty)$
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ ；
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}, \alpha>0$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ ．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数敛散性。若非正项级数需讨论条件收敛和绝对收敛性。
（1）$\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right), \alpha>0$ ．
判别级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\ln \frac{1+n}{n}\right)$ 的敛散性。
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{n+\sqrt{n}}\right)$ ；
求函数项级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n(1-x)}{n\left(1-x^{2 n+1}\right)}$ 的收敛域．
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-3)^n}{n \cdot 3^n}$ 的收敛域．
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
设 $a_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^n x \mathrm{~d} x$ 。
（1）求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\left(a_n+a_{n+2}\right)$ 的值；
（2）试证：对任意的常数 $\lambda>0$ ，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^\lambda}$ 收敛。
证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛，证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \left(1+a_n^2\right)$ 收敛．
(附加题)设 $f_n(x)(n=1,2, \cdots)$ 在区间 $[a, b]$ 上可微，且 $\exists M>0$ ，使得 $\forall n=1,2, \cdots, \forall x \in[a, b]$ ，都有 $\left|f_n^{\prime}(x)\right| \leq M$ ．证明：若函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上逐点收敛，则 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛数
设 $\left\{a_n\right\}$ 是单调递减的正值数列，求证：级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n-a_{n+1}}{\sqrt{a_n}}$ 收敛．
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调减小，且 $a_n \geq 0(n=1,2, \cdots)$ ，又级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$ 发散．证明：级数 $\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{1+a_n}\right)^n$ 收敛．