单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
下列函数中， 不是基本初等函数。
$\text{A.}$ $y=\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^x$
$\text{B.}$ $y=\ln x^2$
$\text{C.}$ $y=\frac{\sin x}{\cos x}$
$\text{D.}$ $y=\sqrt[3]{x^5}$
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$ ．
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$ ．
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$ ．
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
$f(x)$ 当 $x \rightarrow x_0$ 时的右极限 $f\left(x_0^{+}\right)$和左极限 $f\left(x_0^{-}\right)$存在且相等是 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在的 $\qquad$条件
$\text{A.}$ 必要
$\text{B.}$ 充分
$\text{C.}$ 充要
$\text{D.}$ 充分不必要
函数 $f(x)=(x-[x]) \sin 2 \pi x$ 是
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足：$a_{n+1}=f\left(a_n\right), n=1,2, \cdots$ ，其中函数 $f(x)$ 是下列选项中的函数之一。若 $\left\{a_n\right\}$ 总是严格单调递增的，则 $f(x)=()$ ．
$\text{A.}$ $\sin x$ ；
$\text{B.}$ $\ln \left(\mathrm{e}^x+1\right)$ ；
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^x-3 x$ ；
$\text{D.}$ $x^2$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 与 $\left\{y_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n y_n=0$ ，则下列正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散，则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散。
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 无界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必有界．
$\text{C.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 有界，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小。
$\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{x_n}\right\}$ 为无穷小，则 $\left\{y_n\right\}$ 必为无穷小．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
$\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0$ ，当时恒有 $x_0 < \delta, \quad|f(x)-a| < \varepsilon$ ，则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=a$ ．
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=a$ ．
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=a$ ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x_0$ 点处连续．
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则 $\delta$
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $f(x)$ 是 $x$ 的二次函数, 且 $f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2 x$, 求 $f(x)$ 的表达式.
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $2 f(1+x)-f(1-x)=\mathrm{e}^x$ ，则 $f(x)=$
函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为
函数 $y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的值域是
若 $f(x)=\cos x, x \in[\pi, 2 \pi]$ ，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x+\sin x}{x}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{n-2}\right)^n$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln (1+x) \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$ 的值。
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x \leq 0 \\ x+2, & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x < 0 \\ -x, & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则复合函数 $g[f(x)]=$
函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 区间的最小值和最大值．
设 $f\left(x^2-1\right)=\ln \frac{x^2}{x^2-2}$ ，且 $f[\varphi(x)]=\ln x$ ，求 $\varphi(x)$
已知 $f\left(e^x\right)=x e^{-x}$ ，则 $f(x)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan x \cdot \arcsin \frac{1}{x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1}{x\left(1+e^x\right)}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} x \sqrt{1+\sin \frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x}{\sqrt{1+x^2}} \arctan \frac{1}{x}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{|\sin x|}$
求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+3 x)^5-(1+2 x)^7}{(2 x-1)^2-1}$ 之值.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2}{1-\sqrt{1+x^2}}$