单选题 （共 14 题 ），每题只有一个选项正确
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} e^{a_n}$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1-a_n^2}$ 存在。
设 $f(x)=x+1$ ，则 $f(f(x)+1)=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $x$
$\text{B.}$ $x+1$
$\text{C.}$ $x+2$
$\text{D.}$ $x+3$
下列函数中， 不是基本初等函数。
$\text{A.}$ $y=\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)^x$
$\text{B.}$ $y=\ln x^2$
$\text{C.}$ $y=\frac{\sin x}{\cos x}$
$\text{D.}$ $y=\sqrt[3]{x^5}$
下列各对函数中， 中的两个函数相等．
$\text{A.}$ $y=\frac{x \ln (1-x)}{x^2}$ 与 $g=\frac{\ln (1-x)}{x}$
$\text{B.}$ $y=\ln x^2$ 与 $g=2 \ln x$
$\text{C.}$ $y=\sqrt{1-\sin ^2 x}$ 与 $g=\cos x$
$\text{D.}$ $y=\sqrt{x(x-1)}$ 与 $y=\sqrt{x} \sqrt{(x-1)}$
函数 $z=\ln \left(x^2+y^2-2\right)+\sqrt{4-x^2-y^2}$ 的定义域为
$\text{A.}$ $x^2+y^2 \neq 2$
$\text{B.}$ $x^2+y^2 \neq 4$
$\text{C.}$ $x^2+y^2 \geq 2$
$\text{D.}$ $2 < x^2+y^2 \leq 4$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1,\end{array}\right.$ 则 $f\{f[f(x)]\}$ 等于
$\text{A.}$ 0．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ $\begin{cases}1, & |x| \leqslant 1, \\ 0, & |x|>1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $\begin{cases}0, & |x| \leqslant 1, \\ 1, & |x|>1 .\end{cases}$
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=a$ ，且 $a \neq 0$ ，则当 $n$ 充分大时有
$\text{A.}$ $\left|a_n\right|>\frac{|a|}{2}$ ．
$\text{B.}$ $\left|a_n\right| < \frac{|a|}{2}$ ．
$\text{C.}$ $a_n>a-\frac{1}{n}$ ．
$\text{D.}$ $a_n < a+\frac{1}{n}$ ．
设函数 $f(x)=x \tan x \mathrm{e}^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是
$\text{A.}$ 偶函数．
$\text{B.}$ 无界函数．
$\text{C.}$ 周期函数．
$\text{D.}$ 单调函数．
下列各组函数中，是相同函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$
$\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $y=x+1$
$\text{C.}$ $f(x)=x$ 和 $g(x)=x\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=\ln x^2$ 和 $g(x)=2 \ln x$
在 $(-\infty,+\infty)$ 内，函数 $f(x)=x \cos x$ 是（ ）．
$\text{A.}$ 单调的
$\text{B.}$ 有界的
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 奇函数
$f(x)=\sin \left(x^2-x\right)$ 是
$\text{A.}$ 有界函数；
$\text{B.}$ 周期函数；
$\text{C.}$ 奇函数；
$\text{D.}$ 偶函数．
填空题 （共 13 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
设 $f(x)=\frac{a x}{x-a}$ ，求 $f\{f[f(x)]\}$ ．
设 $f(x)=\frac{a^x+a^{-x}}{2}$ ，则函数的图形关于 $\_\_\_\_$对称
若 $y=\left\{\begin{array}{ll}\sin x & -2 < x < 0 \\ x^2+1 & 0 \leq x < 2\end{array}\right.$ 则 $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=$
函数 $y=\cos \frac{\pi x}{x^2+4}$ 的定义域为 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，则它的值域为
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上满足 $2 f(1+x)-f(1-x)=\mathrm{e}^x$ ，则 $f(x)=$
如果函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$ ，则 $f(\ln x)$ 的定义域为
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，求函数 $\varphi(x)$ 的定义域．
函数 $y=\frac{1+\sqrt{1-x}}{1-\sqrt{1-x}}$ 的反函数为
函数 $y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 的值域是
如果函数 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{3-x}}+\lg (x-2)$ ，则函数 $g(x)=f\left(x+\frac{1}{3}\right)+f\left(x-\frac{1}{3}\right)$ 的定义域是
函数 $f(x)=\ln \frac{x}{x-1}+\arcsin \frac{x}{2}$ 的定义域为
若 $f(x)=\cos x, x \in[\pi, 2 \pi]$ ，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判定 $f(x)=\frac{1-e^{-x}}{1+e^{-x}}$ 的奇偶性．
设 $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}2-x, & x \leq 0 \\ x+2, & x>0\end{array}, f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2, & x < 0 \\ -x, & x \geq 0\end{array}\right.\right.$ ，则复合函数 $g[f(x)]=$
已知 $f(x)=\sin x, f[\varphi(x)]=1-x^2$ ，则 $\varphi(x)=$ $\qquad$ ；其定义域为 $\qquad$
函数 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\frac{x+x^3}{1+x^4}$ ，求 $f(x)$
判断函数 $f(x)=\frac{1}{2}\left(a^x+a^{-x}\right)$ 的奇偶性．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{5 n^3}$;
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| < 1, \\ 0, & |x|=1, g(x)= e ^x, \\ -1, & |x|>1,\end{array}\right.$ 求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．
求下列函数的反函数
（1）$y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$
（2）$y=\frac{a x+b}{c x+d}(a d \neq b c)$
（1）设函数 $f(x)=\sin x, x \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ ，求 $f^{-1}(x)$ ；
（2）设函数 $f(x)=\sin x, x \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)$ ，求 $f^{-1}(x)$ ；
求函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\mathrm{e}^x-1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}\right.$ 在 $[0,1]$ 区间的最小值和最大值．