解答题 （共 19 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1 .
$$
证明: 必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b](a>0)$ 上连续, 在 $(a, b)$ 内可导, 且 $f(a)=0, f(b)=1$. 证明:
(I) 存在 $c \in(a, b)$, 使得 $f(c)=\frac{a}{a+b}$;
(II) 存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(a, b)$ 使得 $\frac{a}{f^{\prime}(\xi)}+\frac{b}{f^{\prime}(\eta)}=b^2-a^2$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数, 且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=k$ 相切. 证明: $\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$, 使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$.
设 $p, q$ 是大于 1 的常数，且 $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ，证明：对于任意实数 $x>0$ ，有 $\frac{1}{p} x^p+\frac{1}{q} \geq x$.
试证: 当 $x>0$ 时， $\left(x^2-1\right) \ln x \geq(x-1)^2$.
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且
$$
\int_0^\pi f(x) \mathrm{d} x=0, \int_0^\pi f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0 .
$$
试证：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$.
设 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足
$$
f(1)=3 \int_0^{\frac{1}{3}} e^{1-x^2} f(x) \mathrm{d} x
$$
证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=2 \xi f(\xi)$.
证明方程 $4 \arctan x-x+\frac{4 \pi}{3}-\sqrt{3}=0$ 恰有两个实根.
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ，证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.
(2) 存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$.
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数，且
$$
f(0)=0, f(1)=1, \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x=1 .
$$
证明: (1) 存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；
(2) 存在 $\boldsymbol{\eta} \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta) < -2$ 。
设函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上具有连续导数，
$$
f(0)=f(2)=0, M=\max _{x \in[0,2]}\{|f(x)|\}
$$
证明：
（I）存在 $\xi \in(0,2)$ ，使得 $\left|f^{\prime}(\xi)\right| \geq M$ ；
（I）若对任意的 $x \in(0,2),\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$ ，则 $M=0$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续,在 $(0,1)$ 内二阶可导, 且 $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0$. 又 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上取得最大值为 $M>0$. 证明: 存在唯一的点 $\xi \in(0,1)$ 内, 使得 $f^{\prime}(\xi)=M$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, 且 $f(0)=f(1)=\int_0^1 f(x) d x=0$, 求证:
(I) 方程 $f^{\prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有两个不同的实根；
(II) 方程 $f^{\prime \prime}(x)-f(x)=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
已知 $0 < x < 1$ ，证明：$\left(1+\frac{1}{x}\right)^x(1+x)^{\frac{1}{x}} < 4$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $I=\int_0^1 f(x) d x \neq 0$ ．证明：存在两个不同的点 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\frac{1}{f(\xi)}+\frac{1}{f(\eta)}=\frac{2}{I}$ ．
设函数 $f(x), g(x)$ 均在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=g(0), f(1)=g(1)$ ，求证：存在 $\xi \in\left(0, \frac{1}{2}\right), \eta \in\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)+f^{\prime}(\eta)=g^{\prime}(\xi)+g^{\prime}(\eta)$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(1)=2 \int_0^{\frac{1}{2}} x e^{1-x} f(x) d x$ ，证明：至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\left(1-\xi^{-1}\right) f(\xi)$
设可导函数 $f(x)$ 严格单调递增且满足 $\int_{-1}^1 f(x) d x=0$ ，记 $a=\int_0^1 f(x) d x$ ．
（1）证明 $a>0$ ；
（2）令 $F(x)=a\left(1-x^2\right)+\int_1^x f(t) d t$ ，证明：存在 $\xi \in(-1,1)$ 使 $F^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $b>a>0$ ，函数 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上单增的连续正函数，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使 $a^2 f(b)+b^2 f(a)=2 \xi^2 f(\xi)$ ．
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，$f(x)>0$ ，证明：存在一个 $\xi \in(a, b)$ ，使
$$
\int_a^{\xi} f(x) d x=\int_{\xi}^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b f(x) d x .
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)>0, f(b) < 0$ ，则在区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=0$ 。
已知函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$(0,1)$ 内可导且 $x f^{\prime}(x)+f(x) \neq 0$ ，证明：
对于 $\forall \alpha \in(0,1)$ ，必有 $\int_\alpha^1 f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 。