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试122121卷具体名称

数学

一、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{g (x) - e^{- x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}

，其中

g (x)

有二阶连续导数，且

g (0) = 1, g^{'} (0) = - 1

.
(1) 求

f^{'} (x)

；
(2) 讨论

f^{'} (x)

在

(- \infty, + \infty)

上的连续性.

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2. 设

f (x)

在

[a, b]

上连续，在

(a, b)

内可导，且

\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x = f (b)

求证: 在

(a, b)

内至少存在一点

ξ

，使

f^{'} (ξ) = 0

.

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3. 已知一抛物线通过

x

轴上的两点

A (1, 0), B (3, 0)

.
(1) 求证: 两坐标轴与该抛物线所围图形的面积等于

x

轴与该抛物线所围图形的面积；
(2) 计算上述两个平面图形绕

x

轴旋转一周所产生的两个旋转体体积之比.

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4. 设

z = f (u)

，方程

u = φ (u) + \int_{y}^{x} p (t) d t

确定

u

是

x, y

的函数，其中

f (u), φ (u)

可微；

p (t), φ^{'} (u)

连续，且

φ^{'} (u) \neq 1

，求

p (y) \frac{\partial z}{\partial x} + p (x) \frac{\partial z}{\partial y}

.

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5. 设

f (x, y) = \int_{0}^{x y} e^{- t^{2}} d t

，求

\frac{x}{y} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y} + \frac{y}{x} \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} .

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6. 求微分方程

\frac{d y}{d x} = \frac{y - \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x}

的通解.

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