单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
事件 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 相互独立，则
$\text{A.}$ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 互斥
$\text{B.}$ $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 对立
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(\mathrm{AB})=\mathrm{P}(\mathrm{A}) \mathrm{P}(\mathrm{B})$
$\text{D.}$ $P(A B)=0$
当（ ）成立时，一定有随机变量 $\mathrm{X}, \mathrm{Y}$ 相互独立。
$\text{A.}$ $f(x, y)=f_X(x) f_Y(y)$ ，
$\text{B.}$ $\rho_{X Y}=0$ ，
$\text{C.}$ $\mathrm{D}(\mathrm{X}+\mathrm{Y})=\mathrm{D}(\mathrm{X})+\mathrm{D}(\mathrm{Y})$
$\text{D.}$ $\mathrm{E}(\mathrm{XY})=\mathrm{E}(\mathrm{X}) \mathrm{E}(\mathrm{Y})$
总体是 $X,\left(X_1, X_2\right)$ 是简单随机样本，下列都是总体的数学期望的无偏估计量，其中最有效的是：（ ）
$\text{A.}$ $0.9 X_1+0.1 X_2$
$\text{B.}$ $0.8 X_1+0.2 X_2$
$\text{C.}$ $0.7 X_1+0.3 X_2$
$\text{D.}$ $0.6 X_1+0.4 X_2$
随机变量 X 的密度函数是 $f=\left\{\begin{array}{cc}\sqrt{a^2-x^2} & |x| < a \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}, a= \right.$ 。
$\text{A.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{B.}$ $\sqrt{\frac{2}{\pi}}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ $\sqrt{\frac{\pi}{2}}$
n 个小球随机放入 n 个充分大的盒子里，每个盒子里只有一个小球的概率是
$\text{A.}$ $\frac{n!}{n^n}$
$\text{B.}$ $\frac{n}{n^n}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{n!}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{n}$
微分方程 $2(x y+x) y^{\prime}=y$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C e^{2 x}$
$\text{B.}$ $y^2=C e^{2 x}$
$\text{C.}$ $y^2 e^{2 y}=C x$
$\text{D.}$ $e^{2 y}=C x y$
求极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2-\sqrt{x y+4}}{x y}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
$D$ 是闭区域 $\left\{(x, y) \mid a^2 \leq x^2+y^2 \leq b^2\right\}$ ，则 $\iint_D \sqrt{x^2+y^2} d \sigma=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{B.}$ $\frac{2 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{C.}$ $\frac{4 \pi}{3}\left(b^3-a^3\right)$
$\text{D.}$ $\frac{3 \pi}{2}\left(b^3-a^3\right)$
下列级数收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)(n+4)}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+n}{n^2+1}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2 n-1}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n(n+1)}}$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_{:}, X_2, \cdots X_n\right)$ 是简单随机样本，则 $\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S}{\sqrt{n}}}$ 服从自由度为 $\_\_\_\_$ 的 t 分布
总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots X_n\right)$ 是简单随机样本，$\sigma^2$ 是已知参数，则 $\mu$ 的置信度为 $1-\alpha$ 的双侧置信区间是
总体是 $X$ ，数学期望是 $\mu,\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是简单随机样本， $a\left(X_1+X_2\right)+b\left(X_2+X_3\right)$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，则 $a+b=\frac{1}{2}$
二元函数 $z=\ln \left(y^2-2 x+1\right)$ 的定义域为
经过 $(4,0,-2)$ 和 $(5,1,7)$ 且平行于 $x$ 轴的平面方程为
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n^p}$ ，当 $p$ 满足 $\_\_\_\_$条件时级数条件收敛
解答题 （共 22 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在数字通信中，由于存在随机干扰，因此接收到的信号有误差。发报机发出信号 0 的概率是 0.8 ，发出信号 1 的概率是 0.2 ．当发出信号 0 的时候，收到信号 1 的概率是 0.3 ．当发出信号 1 的时候，收到信号 1 的概率是 0.9 ．试计算当接收到信号 1 的时候，发报机发出是信号 1 的概率。
随机变量 $X$ 的密度函数是 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^2 & x \in[-1,0] \\ b x & x \in(0,1] \\ 0 & \text { 其他 }\end{array}, \quad E(X)=\frac{1}{12}\right.$ 。试计算系数 $a, b$
已知随机变量 $X$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，随机变量 $Y$ 在区间 $[0,1]$ 服从均匀分布，且 $X, Y$ 相互独立。求随机变量 $Z=X+Y$ 的概率密度函数。
甲乙两人独立地，等可能地，各自向区间 $[0,1]$ 内随机投掷一个点。求两人投掷的点之间的距离大于 $\frac{1}{2}$ 的概率
二维随机变量 $(X, Y)$ 在三角形 D 内服从均匀分布。 D 由直线， $\mathrm{x}=0, \mathrm{y}=0, \mathrm{x}+\mathrm{y}=1$ 围成。求 $\mathrm{E}(X Y)$
测量一个物理量的值总有误差的，因此测量值是随机变量，设它服从 $N(3,0.22^2)$ ，进行 n 次重复测量。要求 n 次测量的平均值在区间 $(2.9,3.1)$ 内的概率 $\geq 0.9$ ．问至少要重复测量多少次？$z_{0.05}=1.65, z_{0.1}=1.29$
设总体 $X$ 的概率密度是 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\lambda e^{-\lambda x} & x>0, \quad \lambda>0 \text { ，是未知参数，样本观测 } \\ 0 & x < 0\end{array}\right.$值 $\left(x_1, x_2, \cdots x_n\right)$ ，求 $\lambda$ 的极大似然估计量。
设某天的自动包装机包装的每包产品重量服从正态分布，从中随机抽取 25 包，算得平均重量是 46 克，标准差 10 克，问在显著性水平 0.05 下，可否认为这天的包装机包装产品每包平均重量是 50 克．并给出检验过程。$t_{0.05}(24)=1.7109, t_{0.025}(24)=2.0639$
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\ln \frac{1}{n}-\ln \sin \frac{1}{n}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!\arctan \left[2+(-1)^n\right]}{n^n}$ ；
判别下列正项级数的敛散性
（1）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\arctan \frac{1}{n}\right)^\alpha \frac{1}{\ln \left(1+n+n^2\right)}, \alpha>0$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\cos \frac{1}{\sqrt{n}}\right)^{n^2}$ ．
根据 $\alpha$ 的取值讨论级数敛散性。若非正项级数需讨论条件收敛和绝对收敛性。
（1）$\sum_{n=2}^{\infty} \ln \left(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\right)$ ；
（2）$\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\sqrt[n]{\alpha}-\sqrt{1+\frac{1}{n}}\right), \alpha>0$ ．
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 0 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$ 的和。 4．（8 分）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{3 n-1}$ ．
设 $f$ 是 $\mathbb{R}$ 上 $2 \pi$ 周期的奇函数。在 $[0, \pi]$ 上 $f(x)=x(\pi-x)$ ．
（1）证明：$\forall x \in \mathbb{R}, f(x)=\frac{8}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin ((2 n-1) x)}{(2 n-1)^3}$ ；
（2）求 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^6}$ ．
设 $m, n$ 为常数，若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{x^n\left(1-e^{-x}\right)}{(1+x)^m} d x$ 收敛，求 $m, n$ 的取值范围。
判断广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\arctan x \ln x}{x^2} d x$ 的敛散性。
设 $f(t)=\left(\int_0^t e^{-x^2} d x\right)^2, g(t)=\int_0^1 \frac{e^{-t^2\left(1+x^2\right)}}{1+x^2} d x$ ．证明：$f(t)+g(t)=\frac{\pi}{4}$ ，并由此计算 $\int_0^{+\infty} e^{-x^2} d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+y=e^x$ 满足初始条件 $x=0, y=2$ 的特解。
计算二重积分 $\iint_D \frac{x+y}{x^2+y^2} d x d y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x+y \geq 1\right\}$ 。
设 $z=z(x, y)$ 为方程 $2 \sin (x+2 y-3 z)=x-4 y+3 z$ 确定的隐函数，求 $\frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial z}{\partial y}$ 。
求曲线积分 $\int_L(x+y) d x+(x-y) d y$ ，其中 $L$ 沿 $x^2+y^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0)$ ，逆时针方向。
计算 $\iint_D y^5 \sqrt{1+x^2-y^6} d x d y$ ，其中 $D$ 是由 $y=\sqrt[3]{x}, x=-1$ 及 $y=1$ 所围成的区域。