单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
方程 $x=\sin x+2$ 有实根的区间是 ．
$\text{A.}$ $\left(\frac{\pi}{2}, 3\right)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$
设 $f(x)=\frac{x^2-1}{x^2-3 x+2}$ ，则 $x=1$ 是 $f(x)$ 的 $A$
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 跳跃间断点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 连续点
若函数 $f(x)$ 连续，$\varphi(x)=\int_{\sin x}^1 f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}=$ 。
$\text{A.}$ $f(\sin x)$
$\text{B.}$ $f(\sin x) \cos x$
$\text{C.}$ $f(-\cos x)$
$\text{D.}$ $-f(\sin x) \cos x$
估计 $I=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5 \pi}{4}}\left(1+\sin ^2 x\right) \mathrm{dx}$ 的值为 ．
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq \pi$
$\text{B.}$ $\pi \leq I \leq 2 \pi$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2} \leq I \leq 2 \pi$
$\text{D.}$ $\pi \leq I \leq \frac{3 \pi}{2}$
下列广义积分收敛的是 ．
$\text{A.}$ $\quad \int_1^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x^3}} d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^2} \mathrm{~d} x$
$\text{D.}$ $\int_0^{+\infty} x \mathrm{e}^{-x} \mathrm{~d} x$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\mathrm{e}^{-\frac{[x] \cos \sqrt{4 n^2+1 \pi}}{x}}-\mathrm{e}^{n[x]}\right)$ ，其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的连续点．
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的无穷间断点．
设函数 $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处连续，且 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{|\cos x|}=1$ ，则
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f^{\prime}(x)=1$ ．
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处可导．
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的左导数为 1 ．
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的右导数为 1 ．
设 $a \neq 0$ ，则下列关于曲线 $l_1: y_1=\mathrm{e}^{a x}$ 和曲线 $l_2: y_2=\frac{1}{1+a x^2}+a x$ 的说法中，错误的是（ ）
$\text{A.}$ 不论 $a$ 为何值，直线 $y=a x+1$ 必为 $l_1$ 与 $l_2$ 的公切线．
$\text{B.}$ 曲线 $l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处的曲率半径与 $a$ 有关．
$\text{C.}$ 当 $a=2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
$\text{D.}$ 当 $a=-2$ 时，$l_1$ 与 $l_2$ 在点 $(0,1)$ 处有相同的曲率与曲率圆．
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
设函数 $y_1(x), y_2(x), y_3(x)$ 分别为一阶非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的三个不同的解，已知 $y_1(0)=a, y_2(0)=b, y_3(0)=c$ ，则下列说法中，正确的是
$\text{A.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $p(x), q(x)$ 有关．
$\text{B.}$ $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 是否为常数与 $a, b, c$ 的取值有关．
$\text{C.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为大于 0 的常数．
$\text{D.}$ 若 $a < b < c$ ，则 $\frac{y_3(x)-y_1(x)}{y_2(x)-y_1(x)}$ 必为小于 0 的常数．
设 $D$ 是由曲线 $2 x y=1$ 与直线 $x+y=\frac{3}{2}$ 所围成的封闭区域，已知函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 上连续，则 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=$
$\text{A.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{B.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{C.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{\sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
$\text{D.}$ $2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\arctan 2} \mathrm{~d} \theta \int_{\frac{1}{\sqrt{2 \sin 2 \theta}}}^{\frac{3}{2(\sin \theta+\cos \theta)}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r \mathrm{~d} r$ ．
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}(x+y)^2 \sin \frac{1}{x+y}, & x+y \neq 0, \\ 0, & x+y=0,\end{array}\right.$ 则下列说法中，错误的是 $($ $\_\_\_\_$
$\text{A.}$ $f(x, y)$ 连续．
$\text{B.}$ 当 $x+y=0$ 时，$f_x^{\prime}(x, y)=0$ ．
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不可微．
设3维列向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 满足 $\boldsymbol{\beta}_1=t \boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=(t-1) \boldsymbol{\alpha}_1+t \boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3= (t-1) \boldsymbol{\alpha}_2+t \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，则 $t \neq 0$ 是 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 为方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的一个基础解系的
$\text{A.}$ 充分不必要条件．
$\text{B.}$ 必要不充分条件．
$\text{C.}$ 充分必要条件．
$\text{D.}$ 既不是充分条件，也不是必要条件．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}b & b & a \\ b & a & b \\ a & b & b\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{lll}b & a & b \\ a & b & b \\ b & b & a\end{array}\right), \boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 均可逆，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 不相似但合同．
$\text{B.}$ $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 既相似又合同．
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{C}$ 不相似但合同．
$\text{D.}$ $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 不相似但合同．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1^2+2 x_2^2+x_3^2+2 a x_1 x_3+2 b x_2 x_3$ 可经正交变换化为标准形 $2 a y_1^2 -3 b y_2^2$ ，则下列选项中为 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形是
$\text{A.}$ $y_1^2$ ．
$\text{B.}$ $-y_1^2$ ．
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2$ ．
$\text{D.}$ $y_1^2-y_2^2$ ．
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+m & , x < 1 \\ x^2+3 & , x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $m=$
若 $\lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{k}{x}}=e^{-2}$ ，则 $k=$
曲线 $y=e^x+x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线方程为
$\int_{-1}^1 \frac{x \cos x}{x^2+\cos x+2} d x=$
设函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+2 f\left(\frac{2}{x}\right)=x^2-\frac{1}{x^2}$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1, f(1))$ 处的切线方程为 $y=$
设函数 $f(x)=\int_0^x \sqrt[3]{t-\frac{\pi}{4}} \sin 2 t \mathrm{~d} t$ ，则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的最小值点为 $x=$
曲线 $y=\cos x\left(x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴所围区域绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的侧面积 $S=$
解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n}{n+1} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}$ 的敛散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。
将函数 $\frac{1}{(1-x)(2-x)}$ 展开成 $x$ 的幂级数，并求其成立的区间。
抛物面 $z=x^2+y^2$ 被平面 $x+y+z=1$ 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n n x^n}{(n+1)!}$ 的和函数。
设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 有连续导数，且 $f(0)=1, g(0)=0, L$ 为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，$L$ 围成的平面区域为 $D$ ，已知
$$
\oint_L x y d x+[y f(x)+g(x)] d y=\iint_D y g(x) d \sigma
$$
求 $f(x)$ 和 $g(x)$ 。
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{x^2 \sin x}$
计算不定积分 $\int \frac{1}{(x+2) \sqrt{x+1}} d x$
设 $y=\frac{1}{2 x+3}$ 求 $y^{(n)}(0)$
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 点连续，且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-1}{x}=-1$ ，
（1）求 $f(0)$ ；
（2）讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 是否可导？
已知曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\ln \left(1+t^2\right) \\ y=t-\arctan t\end{array}\right.$ ，求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{dc}^2}$ ．
已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $x \ln x$ ，求 $\int_1^e x f(x) d x$ ．
求微分方程 $y^{\prime}+\frac{y}{x}=\frac{\sin x}{x},\left.y\right|_{x=\pi}=1$ 的特解．
已知点 $(1,-1)$ 是曲线 $y=x^3+a x^2+b x+c$ 的拐点，且该曲线在 $x=0$ 处有极值为 1 ．试确定 $a, b, c$ 的值．
求由 $y=x^3, x=2, y=0$ 所围平面图形的面积，并求该平面图形绕 $x$ 轴旋转所成旋转体的体积．
证明题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，证明存在 $\xi \in(a b)$ 使 $\left(b^2-a^2\right) f^{\prime}(\xi)=2 \xi[f(b)-f(a)]$.
证明： $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\sin x+\cos x} d x=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{\sin x+\cos x} d x$ ．
证明：当 $x>0$ 时， $1+x \ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)>\sqrt{1+x^2}$ ．