单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $z=x y(3-x-y)$ 的极值点是
$\text{A.}$ $(0,0)$.
$\text{B.}$ $(0,3)$.
$\text{C.}$ $(3,0)$.
$\text{D.}$ $(1,1)$.
函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处连续，且两个偏导数 $f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点可微的 ( ).
$\text{A.}$ 充分条件，但不是必要条件;
$\text{B.}$ 必要条件, 但不是充分条件;
$\text{C.}$ 充分必要条件;
$\text{D.}$ 既不是充分条件, 也不是必要条件.
设可微函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处取极小值，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数大于零
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数等于零
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数小于零
$\text{D.}$ $f\left(x_0, y\right)$ 在点 $y_0$ 处导数不存在
将累次积分 $I=\int_0^1 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$ 更换积分次序后为
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-x} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^{1-x} d y \int_0^1 f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{1-y} f(x, y) d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d y \int_0^1 f(x, y) d x$
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $f(x, y)=2 x+6 y-x^2-y^2$ 的驻点为
设 $z=x^y$ ，则 $\left.d z\right|_{\substack{x=e \\ y=1}}=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
计算二重积分 $\iint_D e^{x^2+y^2} d \sigma$, 其中 $D$ 是由圆周 $x^2+y^2=4$ 所围成的闭区域.
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$
设 $z=f(x+y, x y)$, 其中 $f$ 具有一阶连续偏导数, 求 $d z$
设函数 $z=f(x, y)$ 由方程 $x+z=e^{z-y}$ 所确定, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}$
设 $z=\arctan \frac{x}{y}$ ，而 $x=u+v, y=u-v$ ，证明 $\frac{\partial z}{\partial u}+\frac{\partial z}{\partial v}=\frac{u-v}{u^2+v^2}$
设 $\frac{x}{z}=\ln \frac{z}{y}$ ，求 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 及 $\frac{\partial z}{\partial y}$ ．
说明函数 $z=x y$ 在点 $(0,0)$ 处既不取极大值也不取极小值．
求函数 $f(x, y)=x^3-y^3+3 x^2+3 y^2-9 x$ 的极值．
交换积分顺序计算二次积分 $\int_0^\pi d y \int_y^\pi \frac{\cos x}{x} d x$