单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设 $x=a$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点, 则下列论述正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f'(a)=0$
$\text{C.}$ $f''(a)=0$
$\text{D.}$ 以上都不对
函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积的
$\text{A.}$ 必要条件
$\text{B.}$ 充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$, 则 $\int f(2 x+3) d x=$
$\text{A.}$ $F(2 x+3)$
$\text{B.}$ $2 F(2 x+3)+\mathrm{C}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{2} F(2 x+3)+C$
已知 $f(x)=(x-1)(2 x+1)$, 则在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 内 $f(x)$.
$\text{A.}$ 单调增加, 且为凹弧
$\text{B.}$ 单调减少, 且为凹弧
$\text{C.}$ 单调减少, 且为凸弧
$\text{D.}$ 单调增加, 且为凸弧
设反常积分 $\int_1^{+\infty} x^{-k} d x$ 收敛，则
$\text{A.}$ $k>1$;
$\text{B.}$ $k \geqslant 1$;
$\text{C.}$ $k \leqslant 1$;
$\text{D.}$ $k < 1$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\ln x}{x}$ ，则 $\int f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=$
设 $\int f(x) d x=\sin 2 x+c$, 则 $f(x)=$
曲线 $y=(x-5) x^{\frac{2}{3}}$ 的拐点坐标为 ________ .
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
若可导函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处取得极大值, 则必有 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 等于
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2-5 x+6}{x^2-4}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{e^x}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos a x}{x^2}$.
计算 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin ^2 x \cos x d x$.
设连续函数 $f(x)$ 的原函数为 $\frac{\sin x}{x}$, 试求不定积分 $\int x f^{\prime}(x) d x$.
过坐标原点作曲线 $y=\ln x$ 的切线, 该切线与曲线 $y=\ln x$ 及 $x$ 轴围成平面图形 D .
(1) 求 D 的面积 A ;
(2) 求 D 绕直线 $x = e$ 旋转一周所得旋转体的体积 V.
证明：当 $x>0$ 时, $1+\frac{1}{2} x>\sqrt{1+x}$ 。
对任意常数 $a$, 证明 $\int_0^a f(x) d x=\int_0^a f(a-x) d x$.
证明: 若函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续, 则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$, 使 $\int_a^b f(x) d x=f(\xi)(b-a)$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且
$$
f(0)=f(1)=0, f\left(\frac{1}{2}\right)=1 .
$$
证明: 必定存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$.