填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 是标准正态总体的样本, 若 $k\left(2 X_1+X_2\right)^2+X_3^2 \sim \chi^2(2)$, 则 $k=$
知某门课程考生分数 $X$ 服从正态分布 $N\left(75,10^2\right)$, 若把考生分数在后 $10 \%$ 的评为 $C$ 级, 则 $C$ 级的分数线为 ________ 分. (结果四舍五入, 已知 $\Phi(1.285)=0.9$, 其中 $\Phi(x)$ 为正态分布函数)
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X$ 的概率密度为
(f) $f(x ; \sigma)=\frac{1}{2 \sigma} \mathrm{e}^{-\frac{|x|}{\sigma}},-\infty < x < +\infty$
其中 $\sigma \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 来自总体 $X$ 的简单随机样本.
(1)求 $\sigma$ 的最大似然估计量 $\hat{\sigma}$;
(2)求 $E(\hat{\sigma})$ 和 $D(\hat{\sigma})$.
甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和 0.4 , 则飞机至少被击中一炮的概率为?
在针织品漂白工艺过程中, 需要考察温度对针织品断裂强度的影响。假设在 80 摄氏度时, 针织品的断裂强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 现获得来自该总体的一个简单样本 $X_1, X_2, \cdots, X_n$, 其样本值为: $1.3,1.2,1.2,1.5,1.1$
(1) 求 $\mu$ 的置信水平为 0.9 的置信区间; (2) 如果 $\sigma=0.5$ 时, 认为该批次针织品的断裂强度是稳定的, 在显著性水平为 0.05 时, 通过该样本值判断针织品的断裂强度是否稳定.
$\left(\right.$ 上分位数表 $t_{0.05}(4)=2.13, t_{0.05}(5)=2.01, \chi_{0.05}^2(4)=9.5, \chi_{0.95}^2(4)=0.7, \chi_{0.025}^2(4)=$ $\left.11.1, \chi_{0.975}^2(4)=0.5\right)$ 。
已知随机变量 $X_1, X_2, X_3, X_4$ 相互独立, $X_1$ 与 $X_2$ 都在区间 $(0,1)$ 上服从均匀分布, $X_3$ 与 $X_4$ 都服从参数为 $\frac{1}{2}$ 的 $0-1$ 分布, 记 $Y=X_1+X_2+X_3 X_4$, 求 $Y$ 的分布函数 $F_Y(y)$ 及概率密度 $f_Y(y)$.