单选题 （共 16 题 ），每题只有一个选项正确
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜斩近线方程为
$\text{A.}$ $y=x+\mathrm{e}$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{\mathrm{e}}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{\mathrm{e}}$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t|, \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续， $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在， $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
已知 $a_n < b_n(n=1,2, \cdots)$ ，若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 均收敛，则 " $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 绝对收敛 "是 " $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ 绝对收敛"的( )
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分不必要条件
$\text{C.}$ 必要不充分条件
$\text{D.}$ 既不充分也不必要条件
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \quad x \leq 0, \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的一个原函数为
$\text{A.}$ ${F}(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, & x>0\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right), & x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, & x>0\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
已知 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足:
$$
x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2(n=1,2, \cdots)
$$
则当 $n \rightarrow \infty$ 时，（）
$\text{A.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小
$\text{C.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是等价无穷小
$\text{D.}$ $x_n$ 与 $y_n$ 是同阶但不等价的无穷小
若函数 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} \mathrm{~d} x$ 在 $\alpha=\alpha_0$ 处取得最小值，则 $\alpha_0=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$
$\text{B.}$ $-\ln (\ln 2)$
$\text{C.}$ $\frac{1}{\ln 2}$
$\text{D.}$ $\ln 2$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$ ，若 $f(x)$ 没有极值点，但曲线 $y=f(x)$ 有拐点，则 $a$ 的取值范围是 ( )
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
已知函数 $f(x)=\int_0^x \mathrm{e}^{\cos t} \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^{\sin x} \mathrm{e}^{t^2} \mathrm{~d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为周期函数
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的和函数为 $\ln (2+x)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_{2 n}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{6}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 上有定义， 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$ ，则 $(\quad)$
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{B.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=m$
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$ 时， $f^{\prime}(0)=m$
$\text{D.}$ 当 $f^{\prime}(0)=m$ 时， $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=m$
函数 $f(x)=|x|^{\frac{1}{(1-x)(x-2)}}$ 的第一类间断点的个数是 ( )
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
已知函数 $f(x)=\int_0^{\sin x} \sin t^3 \mathrm{~d} t, g(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是奇函数
$\text{B.}$ $f(x)$ 是奇函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{C.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是偶函数
$\text{D.}$ $f(x)$ 是偶函数， $g(x)$ 是奇函数
已知数列 $\left\{a_n\right\}\left(a_n \neq 0\right)$ ，若 $\left\{a_n\right\}$ 发散，则（ ）
$\text{A.}$ $\left\{a_n+\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{B.}$ $\left\{a_n-\frac{1}{a_n}\right\}$ 发散
$\text{C.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}+\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
$\text{D.}$ $\left\{\mathrm{e}^{a_n}-\frac{1}{\mathrm{e}^{a_n}}\right\}$ 发散
设非负函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续，给出以下三个命题:
(1) 若 $\int_0^{+\infty} f^2(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。
(2) 若存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在，则 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛.
(3) 若 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛，则存在 $p>1$ ，使得 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x^p f(x)$ 存在.其中真命题的个数为（）
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 14 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=\mathrm{e}^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小，则 $a b=$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$.若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} \mathrm{~d} t$ 的弧长为
曲线 $3 x^3=y^5+2 y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为
设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $\int_1^3 f(x) \mathrm{d} x=$
设曲线 $L: y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), L$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求 $y(x)$ 的表达式；
(2) 在 $\boldsymbol{L}$ 上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小, 并求此最小面积.
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(2-x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}\right)=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$
设某公司在 $t$ 时刻的资产为 $f(t)$ ，从 0 时刻到 $t$ 时刻的平均资产等于 $\frac{f(t)}{t}-t$ ，假设 $f(t)$ 连续且 $f(0)=0$ ，则 $f(t)=$
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x^2\right)^{\sin x}-1}{x^3}=6$, 则 $a=$
已知 $f(x)=1+x$ ，若
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]
$$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 \sin a_{2 n-1}=$
曲线 $y^2=x$ 在点 $(0,0)$ 处的曲率圆方程为
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$
某物体以速度 $v(t)=t+k \sin \pi t$ 做直线运动，若它从 $t=0$ 到 $t=3$ 的时间段内平均速度是 $\frac{5}{2}$ ，则 $k=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 $y=y(x)(x>0)$ 经过点 $(1,2)$ ，该曲线上任一点 $P(x, y)$ 到 $y$ 轴的距离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距.
(1) 求函数 $y(x)$ 的表达式；
(2) 求函数 $f(x)=\int_1^x y(t) \mathrm{d} t$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最大值.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数. 证明:
(1) 若 $f(0)=0$ ，则存在 $\xi \in(-a, a)$ ，使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]
$$
(2) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值，则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得
$$
\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|
$$
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.
设 $t>0$ ，平面有界区域 $D$ 由曲线 $y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{-x}$ 与直线 $x=t, x=2 t$ 及 $x$ 轴围成， $D$ 绕 $x$ 轴旋转一周所成旋转体的体积为 $V(t)$ ，求 $V(t)$ 的最大值.