一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m（m>1）$ 线性相关，则任一向量 $\alpha_i(1 \leq i \leq m)$ 可由其余向量线性表出.
$\text{B.}$ 若 有 不 全 为 0 的 数 $\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_m \quad(m>1)$ ，使 $i_1 \alpha_1+\lambda_2 \alpha_2+\cdots+\lambda_m \alpha_m+\lambda_1 \beta_1+\lambda_2 \beta_2+\cdots+\lambda_m \beta_m=o$ 成立，则向量组 $\alpha_1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性相关，向量组 $\beta _1, \beta _2, \ldots, \beta _m$ 亦线性相关.
$\text{C.}$ 若 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m( m >1)$ 中任意两个向量线性无关，则 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
$\text{D.}$ 若向量组 $\alpha _1, \alpha _2, \ldots, \alpha _m(m>1)$ 中任意一个向量都不能用其余向量线性表出，则晌量组 $\alpha _1, \alpha , \ldots, \alpha _m$ 线性无关.
已知 3 阶矩阵 $A$ 与对角阵相似, 相似变换矩阵为 $P$, 且 $P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), P$ 按列分块为 $P=\left(p_1, p_2, p_3\right)$, 设 $Q=\left(2 p_3, p_1, p_1+p_2\right)$, 则 $Q^{-1} A Q=$.
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$;
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$;
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}4 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$.
设简单样本 $X_1, \cdots, X_n$ 来自标准正态分布, $\bar{X}, S^2$ 分别是样本均值和样本方差, 则以下选项正确的是（）。
$\text{A.}$ $\bar{X} \sim N(0,1)$
$\text{B.}$ $\bar{X}^2$ 服从卡方分布
$\text{C.}$ $S^2$ 服从卡方分布
$\text{D.}$ $\frac{n \bar{X}^2}{S^2}$ 服从 $F$ 分布
二、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 1 \leqslant x^2+y^2 \leqslant 4, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$, 设 $f(x, y)$ 为 $D$ 上的连续函数, 且有
$$
f(x, y)=\sin \left(\pi \sqrt{x^2+y^2}\right)-\frac{1}{\pi} \iint_D \frac{x f(x, y)}{x+y} d x d y
$$
求 $f(x, y)$
计算 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{n!} \int_0^{+\infty} \int_0^{+\infty} \frac{x^n-y^n}{e^x-e^y} d x d y-2 n\right)$
计算三重积分 $\iiint_{(V)}\left(x^2+y^2\right) d V$, 其中 $(V)$ 是由 $x^2+y^2+(z-2)^2 \geqslant 4, x^2+y^2+(z-1)^2 \leqslant 9$及 $z \geqslant 0$ 所围成的空间图形。