一、填空题 （共 1 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
二、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!},-\infty < x < +\infty$.
(1) 验证 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-y=-\cos x$ ；
(2) 试求 $y(x)$ 的表达式.
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $y=f\left(e^x, \cos x\right)$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
设 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$ 轴和直线 $x+y=2$ 所围成的区域，计算
$$
I=\iint_D e^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
证明级数 $\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow \infty}} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j} \frac{1}{i+j}=\ln 2-\frac{1}{2}$.
设 $F(x, y, z)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 中有连续的一阶偏导数 $\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial x}, \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial y}$, $\frac{\partial F}{\partial z} ，$ 并满足不等式
$$
y \frac{\partial F}{\partial x}-x \frac{\partial F}{\partial y}+\frac{\partial F}{\partial z} \geq \alpha>0, \forall(x, y, z) \in \mathbb{R}^3
$$
其中 $\alpha$ 是常数. 试证明当 $(x, y, z)$ 沿着曲线
$$
\Gamma: x=-\cos t, y=\sin t, z=t, t \geq 0
$$
趋向无穷远时， $F(x, y, z)$ 也趋向无穷大.
设 $x>-1$ 时，可微函数 $f(x)$ 满足条件
$$
f^{\prime}(x)+f(x)-\frac{1}{x+1} \int_0^x f(t) \mathrm{d} t=0
$$
且 $f(0)=1$. 证明: 当 $x \geq 0$ 时， $e^{-x} \leq f(x) \leq 1$
求数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2 n^2+1}+\frac{2}{2 n^2+2}+\cdots+\frac{n}{2 n^2+n}\right)$.