一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
已知直线 $y=k x+t$ 与函数 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的图象恰有两个切点, 设满足条件的 $k$ 所有可能取值中最大的两个值分别为 $k_1$ 和 $k_2$ ，且 $k_1>k_2$ ，则（）
$\text{A.}$ $\frac{3}{5} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{5}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{7}{5} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{5}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{3} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{7}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{7}{5} < \frac{k_1}{k_2} < \frac{7}{3}$
若关于 $x$ 的方程 $\frac{x}{ e ^x}+\frac{ e ^{x+1}}{x+ e ^x}+m=0$ 有三个不等的实数解 $x_1, x_2, x_3$, 且 $x_1 < 0 < x_2 < x_3$, 其中 $m \in R , e =2.71828 L$ 为自然对数的底数, 则 $\left(\frac{x_1}{ e ^{x_1}}+1\right)^2\left(\frac{x_2}{ e ^{x_2}}+1\right)\left(\frac{x_3}{ e ^{x_3}}+1\right)$ 的值为（）
$\text{A.}$ e
$\text{B.}$ $e^2$
$\text{C.}$ $e +1$
$\text{D.}$ $(e+1)^2$
已知函数 $f(x)= e ^x-\frac{1}{2} x^2-a x(a \in R )$ 有两个极值点, 则实数 $a$ 的取值范围（）
$\text{A.}$ $(-\infty, 1)$
$\text{B.}$ $(0,1)$
$\text{C.}$ $[0,1]$
$\text{D.}$ $(1,+\infty)$
二、多选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 20 分, 每题有多个选项符合要求，全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错得 0 分）
已知函数 $f(x)=|\sin x|, g(x)=k x(k>0)$, 若 $f(x)$ 与 $g(x)$ 图象的公共点个数为 $n$, 且这些公共点的横坐标从小到大依次为 $x_1, x_2, \ldots, x_n$, 则下列说法正确的有 ( )
$\text{A.}$ 若 $n=1$, 则 $k>1$
$\text{B.}$ 若 $n=3$, 则 $\frac{2}{\sin 2 x_3}=x_3+\frac{1}{x_3}$
$\text{C.}$ 若 $n=4$, 则 $x_1+x_4 < x_2+x_3$
$\text{D.}$ 若 $k=\frac{2}{2023 \pi}$, 则 $n=2024$
已知函数 $f(x)= e ^x-\sin x, x \in R$, 其中 e 为自然对数的底数, $y=f^{\prime}(x)$ 为其导函数, 则下列判断正确的是 ( )
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调递增
$\text{B.}$ $y=f^{\prime}(x)$ 在 $(-\pi, 0)$ 仅有 1 个零点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $(-2 \pi, 0)$ 有 1 个极大值
$\text{D.}$ 当 $-4 \pi \leqslant x \leqslant-2 \pi$ 时， $f^{\prime}(x),=1 $
三、解答题 （ 共 1 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$.
(1) 求可逆矩阵 $P$ 使 $P ^{-1} A P =\Lambda$;
(2) 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q ^{ T } A Q =\Lambda$.