一、单选题 （共 10 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=-5$ 处收敛,则其在 $x=0$ 处是
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性不能确定
下列数项级数哪个发散?
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \sin \frac{\pi}{2^n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \ln \frac{n^2+1}{n^2}$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n n !}{n^n}$
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} u_n$ 收敛,则下列级数绝对收敛的是
$\text{A.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$
$\text{B.}$ $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n^2}{n}$
$\text{C.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_{n+1}-u_n\right)$
$\text{D.}$ $\sum_{n=1}^{\infty}\left(u_n\right)^n$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x, & 0 \leqslant x \leqslant 1, \\ -x, & 1 < x \leqslant 2,\end{array}\right.$ 的正弦级数与余弦级数的和函数分别为 $S_1(x)$ 与 $S_2(x)$ $(-\infty < x < +\infty)$, 则 $S_1(6)+S_2(-3)=$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $p$ 为常数, 若级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^p} \arctan \frac{1}{\sqrt{n}}$ 条件收剑, 则 $p$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{B.}$ $\left(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$.
$\text{C.}$ $(0,1)$.
$\text{D.}$ $\left(-\frac{1}{2}, 1\right)$.
设幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在 $x=3$ 处条件收敛，则级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{2^n}(x+1)^n$ 在 $x=-3$ 处
$\text{A.}$ 绝对收敛
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 发散
$\text{D.}$ 敛散性不确定
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$ ，则 $\sum\left(a_n x^n\right)^{\prime}$ (导数)的收敛半径也是 $R$
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 有任意阶导数，则有$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}\left(x_0\right)}{n!}\left(x-x_0\right)^n $
$\text{C.}$ 若 $\sum a_n x^n$ 的收敛半径为 $R$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=R$
$\text{D.}$ 设 $\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数 $f(x)$的傅里叶级数，则在 $f(x)$ 的定义域内，有 $ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n x+b_n \sin n x\right) $
设函数 $f(x)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上以 $2 \pi$ 为周期的周期函数，且在区间 $(0,2 \pi]$ 上有 $f(x)=x^2(0 < x \leq 2 \pi)$ ，则 $f(x)$ 的傅里叶系数中 $a_0$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{2 \pi^2}{3}$
$\text{B.}$ $\frac{4 \pi^2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{8 \pi^2}{3}$
$\text{D.}$ $\frac{10 \pi^2}{3}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x < \frac{1}{2}, \\ 1, & \frac{1}{2} \leq x \leq 1\end{array}\right.$ 的正弦级数 $\sum_{n=1}^{+\infty} b_n \sin n \pi x$的和函数为 $S(x)$ ，其中
$$
b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots),
$$
则 $S\left(\frac{7}{2}\right)$ 和 $S(7)$ 的值分别为
$\text{A.}$ $\frac{3}{4}, 0$
$\text{B.}$ $-\frac{3}{4}, 0$
$\text{C.}$ $\frac{3}{4}, 1$
$\text{D.}$ $-\frac{3}{4}, 1$
已知函数 $f(x)=x^2, 0 \leq x \leq 1$ ，记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x(n=1,2, \cdots)$ ，则当 $x \in(1,2)$ 时， $S(x)=(\quad)$
$\text{A.}$ $x^2$
$\text{B.}$ $-x^2$
$\text{C.}$ $(x-2)^2$
$\text{D.}$ $-(x-2)^2$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
将幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n}{2^n}(x-4)^{n-1}$ 展开为 $x$ 的幂级数为
极 限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sec \frac{1}{n}}{n+1}+\frac{\sec \frac{2}{n}}{\left(n^2+1\right)^{\frac{1}{2}}}+\cdots+\frac{\sec \frac{n}{n}}{\left(n^n+1\right)^{\frac{1}{n}}}\right]=$
给定三个幂级数 $u=1+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots$
$$
v=x+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots, w=\frac{x^2}{2!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^8}{8!}+\cdots $$
则 $u^3+v^3+w^3-3 u v w-1=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n+1}}{3^n}$ 的收敛域为
函数 $\cos x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处的幂级数展开为
幂级数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{(2 k-1)!} x^{2 k}$ 的和函数 $S(x)=$
$\int_0^1 x\left(1-\frac{x^2}{1!}+\frac{x^4}{2!}-\frac{x^6}{3!}+\cdots\right) \mathrm{d} x=$
已知 $f(x)=x^2-x, 0 \leq x \leq 1$, 记 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin n \pi x$ ，其中 $b_n=2 \int_0^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=1,2, \cdots$ ，则当 $x \in(1,2)$ 时， $S(x)=$
讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n-1}}{\ln ^2 n}$ 收敛性。
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^3}{3^n}(x-1)^n$ 的收敛半径与收敛区间。
三、解答题 （ 共 10 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{n!} x^n$ 的收敛域与和函数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{2^n \cdot n!}$ 的和.
设幂级数 $y(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程初值问题:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$
(1) 证明: $a_{k+2}=-\frac{2}{k+2} a_k, k=0,1,2, \cdots$;
(2)求 $y(x)$ 的表达式.
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!!}+\cdots
$$
的和函数.
(1) 求 $S(x)$ 的定义域;
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2-1\right) 2^n}$ 的和。
设 $f(x)=\sin (a x), x \in[-\pi, \pi)$ （ $a$ 不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数 $S(x)$ 。
设可微函数 $f(x)$ 是方程 $\left(x-2 y^3\right) d x+3 x y^2 d y=0$ 的解, 且 $f(1)=1$ 。
（1）求 $f(x)$ 的表达式;
（2）讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(f\left(n^3\right)\right)^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 收敛性。
判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(n+1)}{n!}$ 的敛散性。
试将函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$
(1) 展开成 x 的幂级数
(2) 展开成 $\mathrm{x}-1$ 的幂级数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域及和函数.