一、单选题 （共 16 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $A$ 为 3 阶矩阵， $P$ 为 3 阶可逆矩阵，且
$$
P^{-1} A P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$
若 $P=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right) ， Q=\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$ ，则 $Q^{-1} A Q=$
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从区间 $(0,1)$ 上的均匀分布，则 $P\left\{x^2+y^2 \leq 1\right\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{8}$
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{4}$
设 $X_1, X_2, X_3$ 是随机变量，且
$$
\begin{gathered}
X_1 \sim N(0,1), X_2 \sim N\left(0,2^2\right), X_3 \sim N\left(5,3^2\right), \\
p_i=P\left\{-2 \leq X_i \leq 2\right\}(i=1,2,3),
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>p_3$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>p_3$
$\text{C.}$ $p_3>p_1>p_2$
$\text{D.}$ $p_1>p_3>p_2$
设 $X_1, X_2, X_3$ 是随机变量，且
$$
\begin{gathered}
X_1 \sim N(0,1), X_2 \sim N\left(0,2^2\right), X_3 \sim N\left(5,3^2\right), \\
p_i=P\left\{-2 \leq X_i \leq 2\right\}(i=1,2,3),
\end{gathered}
$$
则
$\text{A.}$ $p_1>p_2>p_3$
$\text{B.}$ $p_2>p_1>p_3$
$\text{C.}$ $p_3>p_1>p_2$
$\text{D.}$ $p_1>p_3>p_2$
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P(B)=0.5$ ， $P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设事件 $A$ 与 $B$ 相互独立， $P(B)=0.5$ ， $P(A-B)=0.3$ ，则 $P(B-A)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设 $X_1, X_2, X_3$ 为来自正态总体 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本，则统计量 $S=\frac{X_1-X_2}{\sqrt{2}\left|X_3\right|}$ 服从的分布为
$\text{A.}$ $F(1,1)$
$\text{B.}$ ${F}(2,1)$
$\text{C.}$ $t(1)$
$\text{D.}$ $t(2)$
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则
$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
$\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
若 $A, B$ 为任意两个随机事件，则
$\text{A.}$ $P(A B) \leq P(A) P(B)$
$\text{B.}$ $P(A B) \geq P(A) P(B)$
$\text{C.}$ $P(A B) \leq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
$\text{D.}$ $P(A B) \geq \frac{P(A)+P(B)}{2}$
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，记 $p=P\left\{X \leq \mu+\sigma^2\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $\boldsymbol{p}$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而增加
$\text{B.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加
$\text{C.}$ $p$ 随着 $\boldsymbol{\mu}$ 的增加而减少
$\text{D.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2+$ $2 x_2 x_3+2 x_1 x_3$ 的正负惯性指数分别为 1,2 ，则
$\text{A.}$ $a>1$
$\text{B.}$ $a < -2$
$\text{C.}$ $-2 < a < 1$
$\text{D.}$ $a=1$ 或 $a=-2$
设 $A, B$ 为随机事件， $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$, 若 $P(A \mid B)=1$ ，则下面正确的是
$\text{A.}$ $P(\bar{B} \mid \bar{A})=1$
$\text{B.}$ $P(A \mid \bar{B})=0$
$\text{C.}$ $P(A \cup B)=1$
$\text{D.}$ $P(B \mid A)=1$
设 $A, B$ 为随机事件, 若 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，则 $P(A \mid B)>P(A \mid \bar{B})$ 的充分必要条件是
$\text{A.}$ $P(B \mid A)>P(B \mid \bar{A})$
$\text{B.}$ $P(B \mid A) < P(B \mid \bar{A})$
$\text{C.}$ $P(\bar{B} \mid A)>P(B \mid \bar{A})$
$\text{D.}$ $P(\bar{B} \mid A) < P(B \mid \bar{A})$
设 $A, B, C$ 为三个随机事件，且 $A$ 与 $C$ 相互独立， $B$ 与 $C$相互独立，则 $A \cup B$ 与 $C$ 相互独立的充要条件是
$\text{A.}$ ${A}$ 与 $B$ 相互独立
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 互不相容
$\text{C.}$ $A B$ 与 $C$ 相互独立
$\text{D.}$ $A B$ 与 $C$ 互不相容
设 $f(x)$ 为某分布的概率密度函数，
$$
f(1+x)=f(1-x) ， \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0.6 ，
$$
则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.4
$\text{D.}$ 0.6
设 $f(x)$ 为某分布的概率密度函数，
$$
f(1+x)=f(1-x) ， \int_0^2 f(x) \mathrm{d} x=0.6 ，
$$
则 $P\{X < 0\}=$
$\text{A.}$ 0.2
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.4
$\text{D.}$ 0.6
二、填空题 （共 9 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $A, B, C$ 是随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P(A B)=\frac{1}{2}$, $P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A B \mid \bar{C})=$
设 $A, B, C$ 是随机事件， $A$ 与 $C$ 互不相容， $P(A B)=\frac{1}{2}$ ， $P(C)=\frac{1}{3}$, 则 $P(A B \mid \bar{C})=$
设随机变量 $Y$ 服从参数为 1 的指数分布， $a$ 为常数且大于零，则 $P\{Y \leq a+1 \mid Y>a\}=$
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2-x_2^2+2 a x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 的负惯性指数是 1 ，则 $a$ 的取值范围是
设 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$.
(1) 求 $a, b$ 的值；
(2) 求可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A P$ 为对角矩阵.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
2^{-x} \ln 2, & x>0 \\
0, & x \leq 0
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 进行独立重复的观测，直到第 2 个大于 3 的观测值出现时停止，记 $\boldsymbol{Y}$ 为观测次数。
(1) 求 $\boldsymbol{Y}$ 的概率分布;
(2) 求 $E(Y)$.
设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回的取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到为止，则取球次数恰为 4 的概率为
设随机事件 $A, B$ 相互独立， $A, C$ 相互独立， $B C=\phi$ ，若 $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}, P(A C \mid A B \cup C)=\frac{1}{4} ，$则 $P(C)=$
三、解答题 （ 共 13 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 的概率分布分别为
且 $P\left\{X^2=Y^2\right\}=1$.
(1) 求二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $Z=X Y$ 的概率分布.
(3) 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从区域 $G$ 上的均匀分布，其中 $G$ 由 $x-y=0, x+y=2$ 与 $y=0$ 所围成的三角形区域。
(1) 求 $X$ 概率密度 $f_X(x)$ ； (2) 求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$.
设二维离散型随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布为
(1) 求 $P\{X=2 Y\}$ ；
(2) 求 $\operatorname{Cov}(X-Y, Y)$.
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{9} x^2, & 0 < x < 3 \\
0 & , \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
令随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{ll}2, & X \leq 1 \\ X, & 1 < X < 2 \\ 1, & X \geq 2\end{array}\right.$.
(1) 求 $Y$ 的分布函数；
(2) 求概率 $P\{X \leq Y\}$.
设 $A=\left(\begin{array}{ll}1 & a \\ 1 & 0\end{array}\right) ， B=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & b\end{array}\right)$ ，当 $a ， b$ 为何值时，存在矩阵 $C$ 使得 $A C-C A=B$ ，并求所有矩阵 $C$.
设 $(X, Y)$ 是二维随机变量， $X$ 的边缘概率密度为
$$
f_X(x)=\left\{\begin{array}{cc}
3 x^2, & 0 < x < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
在给定 $X=x(0 < x < 1)$ 的条件下， $Y$ 的条件概率密度为
(1) 求 $(X, Y)$ 的概率密度 $f(x, y)$ ；
(2) 求 $Y$ 的边缘概率密度 $f_Y(y)$ ；
(3) 求 $P\{X>2 Y\}$.
证明 $n$ 阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1 & \cdots & 1 \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
1 & 1 & \cdots & 1
\end{array}\right) \text { 与 } B=\left(\begin{array}{cccc}
0 & \cdots & 0 & 1 \\
0 & \cdots & 0 & 2 \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & \cdots & 0 & n
\end{array}\right)
$$
相似.
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 的概率分布相同， $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=\frac{1}{3} ， P\{X=1\}=\frac{2}{3} ，
$$
且 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=\frac{1}{2}$.
(1) 求 $(X, Y)$ 的概率分布;
(2) 求 $P\{X+Y \leq 1\}$.
设 $A=\left(\begin{array}{rrr}0 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -3 \\ 1 & -2 & a\end{array}\right)$ 相似于矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 3 & 1\end{array}\right)$.
(1) 求 $a, b$ 的值;
(2) 求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $P^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}
$$
上服从均匀分布，令 $U=\left\{\begin{array}{l}1, X \leq Y, \\ 0, X>Y .\end{array}\right.$
(1) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度；
(2) 问 $U$ 与 $\boldsymbol{X}$ 是否相互独立? 并说明理解；
(3) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2}
$$
$\boldsymbol{Y}$ 的概率概率密度为
$$
f(y)=\left\{\begin{array}{l}
2 y, 0 < y < 1, \\
0, \text { 其他. }
\end{array}\right.
$$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} Y\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
设随机变量 $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$ 相互独立，且 $\boldsymbol{X}$ 的概率分布为
$$
P\{X=0\}=P\{X=2\}=\frac{1}{2},
$$
$Y$ 的概率概率密度为 $f(y)=\left\{\begin{array}{l}2 y, 0 < y < 1, \\ 0, \text { 其他. }\end{array}\right.$
(1)求 $P\{\boldsymbol{Y} \leq \boldsymbol{E} \boldsymbol{Y}\}$ ；
(2)求 $Z=X+Y$ 的概率密度.
已知随机变量 $X, Y$ 相互独立，且 $X$ 的概率分布为
$$
P(X=1)=P(X=-1)=\frac{1}{2} .
$$
$Y$ 服从参数为 $\boldsymbol{\lambda}$ 的泊松分布， $Z=X Y$.
(1)求 $\operatorname{cov}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Z})$ ；
(2)求 $Z$ 的分布律.